Eisensteins kriterium

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Eisensteins kriterium, uppkallat efter matematikern Ferdinand Eisenstein, är inom matematiken ett tillräckligt krav för att polynom ska vara irreducibelt över de rationella talen, vilket innebär att det inte kan faktoriseras som en produkt av polynom av lägre grad. Ett polynom som uppfyller Eisensteins kriterium kallas Eisensteinpolynom.

Mer specifikt, ett polynom  f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 , där alla  a_k är heltal, är ett Eisensteinpolynom, och därmed irreducibelt, om det finns ett primtal p så att

  • p inte delar an.
  • p delar  a_k för k från 0 till n - 1.
  • p2 inte delar a0.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Enkelt exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt  f(x) = 2x^2+3x-6 om vi tar primtalet 3, ser vi att det inte delar 2, men det delar 3 och -6. Dock delar  3^2 = 9 inte -6. Alltså är  f(x) ett Eisensteinpolynom och därmed irreducibelt över de rationella talen. Observera att polynomet ändå kan faktoriseras över de reella talen (eller de algebraiska talen):

 f(x) = 2x^2+3x-6 = 2\left (x+\frac{\sqrt{57}+3}{4} \right) \left(x-\frac{\sqrt{57}-3}{4} \right)

Cyklotomiska polynom[redigera | redigera wikitext]

Ett cyklotomiskt polynom för ett primtal p är polynomet

 f(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+x+1

Byt nu variabel, y = x - 1 eller ekvivalent x = y + 1 i ekvationen ovan och utveckla, då man får ett nytt polynom i variabeln y med konstantterm p och högstagradskoefficent 1:

 \frac{(y+1)^p - 1}{y} = y^{p-1} + \binom{p}{p-1} y^{p-2} + \dots + \binom{p}{2} y + \binom{p}{1}

Konstanttermen är delbar med p men inte  p^2 , och högstagradskoefficenten är inte delbar med p. De andra koefficienterna är binomialkoefficienter och därmed delbara med p. Alltså är polynomet irreducibelt över de rationella talen enligt Eisensteins kriterium.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Kriteriet är uppkallat efter Ferdinand Eisenstein. Det publicerades i Crelles Journal (Journal für die reine und angewandte Mathematik), 1846, av T. Schönemann[1] och i en annan form av Eisenstein i Crelles Journal 1850.[2] Einsenstein använde sig dock av koefficienter som var gaussiska heltal.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ T. Schönemann (1846). ”Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind”. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Berlin: August Leopold Crelle) "32": sid. 93. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002145286. Läst 2009-03-17. 
  2. ^ Ferdinand Eisenstein (1850). ”Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt”. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Berlin: August Leopold Crelle) "39": sid. 160ff. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0039. Läst 2009-03-17. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt algebra. Studentlitteratur. sid. 382. ISBN 91-44-01262-4