Ekvivalensrelation

Från Wikipedia

En ekvivalensrelation i matematiken är en binär relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv. En ekvivalensrelation på en mängd ger upphov till en partition av mängden i ekvivalensklasser.

Innehåll 1 Definition 2 Exempel på ekvivalensrelationer 2.1 Relationen "=" 2.2 Kongruensrelationer 2.3 Relationen "är jämnårig med" 2.4 Relationen ">"

[redigera] Definition

Relationen på en mängd A säges vara en ekvivalensrelation om följande villkor är uppfyllda:

• Reflexivitet:

• Symmetri:

• Transitivitet:

[redigera] Exempel på ekvivalensrelationer

[redigera] Relationen "="

Om ovan ersätts med "=" och A med exempelvis inses att likhetsrelationen är en ekvivalensrelation.

[redigera] Kongruensrelationer

Huvudartikel: Kongruens modulo

Givet ett fixt heltal m, säges två heltal a och b vara kongruenta modulo m, om differensen a-b är en heltalsmultipel av m. Detta ger en ekvivalensrelation, på mängden Z av hela tal, för varje m. Om m är positivt, så delas Z up i precis m ekvivalensklasser.

Om m = 2, så är de två ekvivalensklasserna mängden av alla jämna tal och mängden av alla udda tal.

[redigera] Relationen "är jämnårig med"

Relationen "är jämnårig med" kan också tolkas som en ekvivalensrelation:

• Den är reflexiv:

A "är jämnårig med" A för alla personer A.

• Den är symmetrisk:

Om A "är jämnårig med" B så är B "jämnårig med" A.

• Den kan tolkas som transitiv:

Om A "är jämnårig med" B och B "är jämnårig med" C så är A "är jämnårig med" C.

Om åldern hos en person anses vara ett heltal antal år, och utsagorna betraktas i ett bestämt tidsögonblick, bildar exempelvis alla 8-åringar en ekvivalensklass under denna ekvivalensrelation.

Som så ofta har emellertid utsagor från det verkliga livet inte lika väldefinierade sanningsvärden som matematiska utsagor brukar ha. En annan språkbrukare kanske menar att personer är jämnåriga om de är födda under samma kalenderår, vilket också ger en ekvivalensrelation (men inte samma som den ovanstående). Alla personer födda år 1995 bildar då en ekvivalensklass. Det ger dock den absurda effekten att två tvillingar som fötts ett par minuter före respektive efter nyårsmidmidnatten inte räknas slm jämnåriga. Andra språkbrukare kan därför tänkas kalla personer jämnåriga, om deras födelsetider skiljer sig åt med mindre än ett år. Denna tredje tolkning ger en relation som visserligen är reflexiv och symmetrisk, men inte transitiv, och därför inte är en ekvivalensrelation.

[redigera] Relationen ">"

Dock är inte till exempel ">" en ekvivalensrelation, eftersom den endast är transitiv. Däremot är relationen en så kallad partiell ordningsrelation.