Enhetsdelare

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ett naturligt tal a enhetsdelare[källa behövs] av ett tal b om a är en delare av b och om a och \frac{b}{a} är relativt prima. Sålunda är 5 enhetsdelare av 60, eftersom 5 och \frac{60}{5}=12 endast har 1 som en gemensam faktor, medan 6 är en delare men inte en enhetsdelare av 60, eftersom 6 och \frac{60}{6}=10 har en gemensam faktor utöver 1, nämligen 2. 1 är en enhetsdelare av alla naturliga tal.

Ekvivalent, en given delare a av b är en enhetsdelare om och endast om varje primtalsfaktor för a har samma multiplicitet i a som i b.

Summan av enhetsdelare-funktionen betecknas med den gemena grekiska bokstaven sigma sålunda: σ*(n). Summan av den k:te potensen av enhetsdelarna betecknas med σ*k(n):

\sigma_k^*(n) = \sum_{d\mid n \atop \gcd(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Om de äkta enhetsdelarna till ett givet tal adderar fram till detta tal, så är det ett enhetsperfekt tal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Antalet enhetsdelare av ett tal n är 2k, där k är antalet distinkta primtalsfaktorer av n. Summan av enhetsdelarna till n är udda om n är en potens av 2 (inklusive 1), och även annars.

Summan av enhetsdelarna till n är en multiplikativ funktion av n, men inte komplett multiplikativ. Dirichlets genererade funktion är

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.

Udda enhetsdelare[redigera | redigera wikitext]

Summan av de k:te potenserna av udda enhetsdelare är

\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d\mid n \atop d\equiv 1 \pmod 2} \atop \gcd(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Det är också multiplikativt, med Dirichlets genererade funktion

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.

Bi-enhetsdelare[redigera | redigera wikitext]

En delare d av n är en bi-enhetsdelare om den största gemensamma enhetsdelaren d och n/d. Antalet bi-enhetsdelare till n är en multiplikativ funktion av n med genomsnittlig ordning A \log x där[1]

A = \prod_p\left({1 - \frac{p-1}{p^2(p+1)} }\right) \ .

Ett bi-enhetsperfekt tal är 1 lika med summan av dess bi-enhetliga alikvota delare. De enda bi-enhetsperfekta talen är 6, 60 och 90.[2]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Unitary divisor, 9 oktober 2013.

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Ivić (1985) p.395
  2. ^ Sandor et al (2006) p.115

Tryckta källor[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

OEIS-talföljder[redigera | redigera wikitext]