Epsilon-delta-bevis

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Epsilon-delta-bevis är en typ av matematiska bevis angående gränsvärden. Med hjälp av epsilon-delta-bevis kan man exempelvis undersöka funktioners kontinuitet eller bevisa att en funktion har ett visst gränsvärde i en viss punkt.

Princip[redigera | redigera wikitext]

Principen bakom epsilon-delta-beviset är att man undersöker en funktions kontinuitet i en viss punkt, i ett obegränsat antal dimensioner. Om man undersöker en funktion i en variabel, f(x), så granskar man en punkt (x_0, y_0).

Man bestämmer en viss avvikelse som tillåts från y_0 betecknat epsilon (\epsilon). Man vill nu hitta en liknande avvikelse på x-axeln, delta (\delta) som man vill få ett uttryck för. Idén är att bevisa att för alla \epsilon > 0, oberoende hur litet man väljer det, så finns det ett motsvarande \delta > 0 som gör att funktionens värden hålls innanför det bestämda intervallet (ifall funktionen är kontinuerlig i den valda punkten). I epsilon-delta-beräkningen gäller nu följande:

Vi studerar funktionen f(x) för olika värden på x. Om x kommer närmare punkten (x_0, y_0) än det \delta vi söker, så måste funktionens y-värde i punkten x vara närmare y_0 än det \epsilon vi bestämt.

I matematisk skrift kan detta uttryckas:

\left| x-x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi har funktionen f(x) = 2x-7 och vi vill bevisa att \lim_{x \to 4} f(x) = 1 (notera att detta inte trivialt följer av att f(4) = 1. Det vi i realiteten visar är att funktionen är kontinuerlig i x=4). Vi gör detta med hjälp av ett epsilon-delta-bevis. Vi bestämmer inget speciellt tal för epsilon, utan vi vill ha ett uttryck som svar.

Vi utgår ifrån att

\left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon
\Leftrightarrow \left| 2x-7 -1 \right| < \epsilon
\Leftrightarrow \left| 2x-8 \right| < \epsilon
\Leftrightarrow 2 \left| x-4 \right| < \epsilon
\Leftrightarrow \left| x-4 \right| < \frac{\epsilon}{2}

Detta innebär att så länge x-värdet vi granskar inte är längre än \frac{\epsilon}{2} från x_0 = 4, så är y-värdet mindre än \epsilon från y_0 = 1.

Vi kan alltså välja \delta = \frac{\epsilon}{2} som maximal avvikelse längs x-axeln och kan då konstatera att så länge 0 < \left| x-4 \right| < \delta så är \left| y - y_0 \right| = \left| (2x-7) - 1 \right| < \epsilon, \forall \epsilon > 0.

Alternativ beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Studera den reellvärda funktionen

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1},

vars definitionsmängd är den punkterade tallinjen \mathbf{R}\setminus\{1\}. Vi är intresserade av att undersöka funktionens värden, f(x), då argumentet, x, rör sig kring det förbjudna talet 1. Om argumentet antar värdena 1.01, 1.001, 1.0001 och 0.9999, så antar funktionen de motsvarande värdena 2.01, 2.001, 2.0001 respektive 1.9999. Detta indikerar att funktionsvärdet f(x) närmar sig talet 2 då argumentet x närmar sig talet 1, både från höger och vänster på tallinjen. Det verkar som man kan få funktionsvärdet hur nära talet 2 som helst, bara man väljer argumentet tillräckligt nära talet 1.

Säg att vi vill att funktionsvärdet f(x) skall befinna sig på avståndet \varepsilon från talet 2. Detta kan man uttrycka med hjälp av absolutbelopps-funktionen:

\vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon.

Vad innebär detta för argumentet x ?

Om man sätter in uttrycket för funktionsvärdena får man

\vert f(x) - 2 \vert = \left\vert \frac{x^2 - 1}{x-1} - 2 \right\vert = \vert x+1-2\vert = \vert x-1\vert,

där vi har tillämpat konjugatregeln för att förenkla uttrycket \frac{x^2-1}{x-1}. Detta visar att om vi vill att avståndet \vert f(x) - 2\vert < \varepsilon, så måste vi välja talet x så att avståndet \vert x - 1 \vert < \varepsilon.

Vi har alltså lyckats visa att det, för varje val av talet \varepsilon, går att finna ett motsvarande tal \delta — vilket i detta fall råkar sammanfalla med talet \varepsilon — så att avståndet \vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon om avståndet \vert x - 1 \vert < \delta.

Med logisk symbolik uttrycker man detta på följande sätt:

\forall \varepsilon>0, \quad \exists \delta > 0: \quad \vert x - 1 \vert < \delta \Longrightarrow \vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon.

Detta utläses: För varje \varepsilon>0 existerar det \delta>0 sådant att om \vert x - 1 \vert < \delta, så är \vert  f(x) - 2 \vert < \varepsilon.

Källor[redigera | redigera wikitext]