Epsilon-delta-bevis

Epsilon-delta-bevis är en typ av matematiska bevis angående gränsvärden. Med hjälp av epsilon-delta-bevis kan man exempelvis undersöka funktioners kontinuitet eller bevisa att en funktion har ett visst gränsvärde i en viss punkt.

Princip

Principen bakom epsilon-delta-beviset är att man undersöker en funktions kontinuitet i en viss punkt, i ett obegränsat antal dimensioner. Om man undersöker en funktion i en variabel, $f(x)$, så granskar man en punkt $(x_0, y_0)$.

Man bestämmer en viss avvikelse som tillåts från $y_0$ betecknat epsilon ($\epsilon$). Man vill nu hitta en liknande avvikelse på x-axeln, delta ($\delta$) som man vill få ett uttryck för. Idén är att bevisa att för alla $\epsilon > 0$, oberoende hur litet man väljer det, så finns det ett motsvarande $\delta > 0$ som gör att funktionens värden hålls innanför det bestämda intervallet (ifall funktionen är kontinuerlig i den valda punkten). I epsilon-delta-beräkningen gäller nu följande:

Vi studerar funktionen $f(x)$ för olika värden på x. Om x kommer närmare punkten ($x_0, y_0$) än det $\delta$ vi söker, så måste funktionens y-värde i punkten x vara närmare $y_0$ än det $\epsilon$ vi bestämt.

I matematisk skrift kan detta uttryckas:

$\left| x-x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon$

Exempel

Vi har funktionen $f(x) = 2x-7$ och vi vill bevisa att $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$ (notera att detta inte trivialt följer av att $f(4) = 1$. Det vi i realiteten visar är att funktionen är kontinuerlig i $x=4$). Vi gör detta med hjälp av ett epsilon-delta-bevis. Vi bestämmer inget speciellt tal för epsilon, utan vi vill ha ett uttryck som svar.

Vi utgår ifrån att

$\left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon$

$\Leftrightarrow \left| 2x-7 -1 \right| < \epsilon$

$\Leftrightarrow \left| 2x-8 \right| < \epsilon$

$\Leftrightarrow 2 \left| x-4 \right| < \epsilon$

$\Leftrightarrow \left| x-4 \right| < \frac{\epsilon}{2}$

Detta innebär att så länge x-värdet vi granskar inte är längre än $\frac{\epsilon}{2}$ från $x_0 = 4$, så är y-värdet mindre än $\epsilon$ från $y_0 = 1$.

Vi kan alltså välja $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ som maximal avvikelse längs x-axeln och kan då konstatera att så länge $0 < \left| x-4 \right| < \delta$ så är $\left| y - y_0 \right| = \left| (2x-7) - 1 \right| < \epsilon, \forall \epsilon > 0$.

Alternativ beskrivning

Studera den reellvärda funktionen

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1},$

vars definitionsmängd är den punkterade tallinjen $\mathbf{R}\setminus\{1\}$. Vi är intresserade av att undersöka funktionens värden, $f(x)$, då argumentet, $x$, rör sig kring det förbjudna talet $1$. Om argumentet antar värdena 1.01, 1.001, 1.0001 och 0.9999, så antar funktionen de motsvarande värdena 2.01, 2.001, 2.0001 respektive 1.9999. Detta indikerar att funktionsvärdet f(x) närmar sig talet 2 då argumentet x närmar sig talet 1, både från höger och vänster på tallinjen. Det verkar som man kan få funktionsvärdet hur nära talet 2 som helst, bara man väljer argumentet tillräckligt nära talet 1.

Säg att vi vill att funktionsvärdet $f(x)$ skall befinna sig på avståndet $\varepsilon$ från talet 2. Detta kan man uttrycka med hjälp av absolutbelopps-funktionen:

$\vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon.$

Vad innebär detta för argumentet $x$ ?

Om man sätter in uttrycket för funktionsvärdena får man

$\vert f(x) - 2 \vert = \left\vert \frac{x^2 - 1}{x-1} - 2 \right\vert = \vert x+1-2\vert = \vert x-1\vert,$

där vi har tillämpat konjugatregeln för att förenkla uttrycket $\frac{x^2-1}{x-1}$. Detta visar att om vi vill att avståndet $\vert f(x) - 2\vert < \varepsilon,$ så måste vi välja talet $x$ så att avståndet $\vert x - 1 \vert < \varepsilon.$

Vi har alltså lyckats visa att det, för varje val av talet $\varepsilon$, går att finna ett motsvarande tal $\delta$ — vilket i detta fall råkar sammanfalla med talet $\varepsilon$ — så att avståndet $\vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon$ om avståndet $\vert x - 1 \vert < \delta.$

Med logisk symbolik uttrycker man detta på följande sätt:

$\forall \varepsilon>0, \quad \exists \delta > 0: \quad \vert x - 1 \vert < \delta \Longrightarrow \vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon.$

Detta utläses: För varje $\varepsilon>0$ existerar det $\delta>0$ sådant att om $\vert x - 1 \vert < \delta,$ så är $\vert f(x) - 2 \vert < \varepsilon.$

Källor

• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Proof
• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Definition