Eulers ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

p \mathbf{n} \delta \mathbf{S}

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u \cdot n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, \delta S under en tidsenhet blir u \cdot n\delta S. Nettovolymen av utflödet blir då

\int_{S} \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}d\mathbf{S}

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{u}d\mathbf{V}=0

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att \nabla\cdot\mathbf{u} är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitet ger det att \nabla\cdot\mathbf{u} är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om \nabla\cdot\mathbf{u} är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

\nabla\cdot\mathbf{u}=0

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

-\int_{S}p \mathbf{n}d\mathbf{S}=-\int_{V}\nabla p d\mathbf{V}

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att \nabla p är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen \deltaV. Nettokraften blir då \nabla p \deltaV över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

(-\nabla p + \rho \mathbf{g})\delta V

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

\rho \delta V \frac{\mbox{D}\mathbf{u}}{\mbox{D}t}

Därmed får vi

\frac{\mbox{D}\mathbf{u}}{\mbox{D}t}=-\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}
\nabla\mathbf{u}=0

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x},
 \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y},
 \frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g,
 \frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial v}{\partial y}+v\frac{\partial w}{\partial z}=0

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

\mathbf{g}=-\nabla \xi

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla\left(\frac{p}{\rho} +\xi \right)

där \rho förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=(\nabla \times \mathbf{u}) \times \mathbf{u} + \frac{1}{2}\nabla(\mathbf{u}^{2})

för att få rörelseekvationen på formen

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+(\nabla \times \mathbf{u})\times\mathbf{u}=-\nabla\left(\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}\mathbf{u}^{2}+\xi\right)

Vilket leder till Bernoulli's strömlinjeteorem.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. ISBN 978-0-19-859679-0.