Eulers konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Eulers konstant är en matematisk konstant definierad som gränsvärdet

\gamma=\lim_{n\rightarrow\infin} H_n - \ln n \, \approx \, \mbox{0,577 215 664}

där Hn är det n:e harmoniska talet och ln betecknar den naturliga logaritmen. Talet, som är uppkallat efter Leonhard Euler (och ej bör förväxlas med Eulers tal e ≈ 2,71828), förekommer i många olika formler inom matematiken och har djupa kopplingar till talteori och Riemanns zetafunktion. Det är ännu inte bevisat huruvida γ är ett irrationellt tal.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Fig 1. H6, summan av y=1/x för heltalsvärden av x från 1 till och med 6
Fig 2. ln 6, ytan under kurvan y=1/xx varierar mellan 1 och 6

Den n:e harmoniska talet ges av den trunkerade harmoniska serien

H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}

som kan visas divergeran går mot oändligheten. Divergensen är dock mycket långsam (mer än 1,5 · 1043 termer krävs exempelvis för att nå en summa över 100). I själva verket växer Hn med ungefär samma hastighet som ln n, vilket kan förstås genom att tolka den naturliga logaritmen som ytan under grafen till y = 1/x,

\ln a = \int_1^a \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x\,

(figurerna 1 och 2 ger en visuell jämförelse). Funktionerna är dock inte exakt lika, och Leonhard Euler visade att differensen då n går mot oändligheten är en konstant mellan 0 och 1. Euler kallade talet C, beräknade dess värde med sex decimalers noggrannhet, och publicerade år 1735 resultatet i avhandlingen De Progressionibus harmonicus observationes.

Numeriskt värde[redigera | redigera wikitext]

Värdet på Eulers konstant kan i praktiken inte beräknas direkt utifrån Eulers gränsvärde, eftersom konvergensen är långsam. Exempelvis är

H_{10} - \ln 10 = \mbox{0,(6263831609} \ldots)
H_{100} - \ln 100 = \mbox{0,5(822073317} \ldots)
H_{1000} - \ln 1000 = \mbox{0,577(7155816} \ldots)
H_{10000} - \ln 10000 = \mbox{0,5772(6566407} \ldots).

Euler härledde i stället formeln

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n+1) + \frac{1}{2}\left[ 1 + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n^2} \right] - \frac{1}{3}\left[ 1 + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{n^3} \right] + \ldots

och kunde med dess hjälp ge uppskattningen C ≈ 0,577218.

Konvergensen i Eulers gränsvärde kan förbättras genom att ta med en grov uppskattning av felet i beräkningen. En sådan uppskattning är

\gamma \sim H_n - \ln n - \frac{1}{2n},

med vars hjälp n = 10 ger två korrekta decimaler. Termen −1/2n är i själva verket den första i en serie som ger ännu bättre uppskattningar. Genom att tillämpa Euler–Maclaurins summationsformel på funktionen y = 1/x fås

\gamma \sim H_n - \ln n - \frac{1}{2n} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k} \frac{1}{n^{2k}},

där B2k är ett Bernoullital, med de första termerna utskrivna:

\gamma \sim H_n - \ln n - \frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^2} - \frac{1}{120n^4} + \frac{1}{252n^6} - \frac{1}{240n^8} + \frac{1}{132n^{10}} - \frac{691}{32760n^{12}} + \frac{1}{12n^{14}} - \ldots.

Detta är en asymptotisk serie som divergerar för varje n men vars fel vid lämplig trunkering går mot 0 då n → ∞. Euler valde n = 10 och beräknade serien till och med n14-termen, vilket gav uppskattningen 0,577 215 664 901 532 5, med 16 korrekta decimaler.

Lorenzo Mascheroni använde år 1790 Eulers metod för att beräkna 32 decimaler, som han publicerade i avhandlingen Adnotationes ad calculum integrale Euleri. Dessvärre erhöll Johann von Soldner år 1809, vid en beräkning av de 24 första decimalerna, ett värde som skilde sig från Mascheronis efter den 19:e decimalen. En ny räkning med 40 decimalers noggrannhet, genomförd 1812 av det 19-åriga räknegeniet F G B Nicolai (1793–1846) på Carl Friedrich Gauss anmodan, visade överensstämmelse med Soldners. Mascheronis felräkning ledde till minst åtta oberoende omräkningar för att bekräfta Soldners resultat, och under flera år cirkulerade båda värdena till stor förvirring. På grund av detta missöde, och att Mascheroni i sin avhandling infört beteckningen γ, kallas talet ibland Euler–Mascheronis konstant.

Numerisk representation[redigera | redigera wikitext]

De första 250 siffrorna i γ:s decimalutveckling är

0,
57721566490153286060651209008240243104215933593992
35988057672348848677267776646709369470632917467495
14631447249807082480960504014486542836224173997644
92353625350033374293733773767394279259525824709491
60087352039481656708532331517766115286211995015080.

Talet har kedjebråksframställningen

[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, ...]

som ger upphov till de rationella närmevärdena

0, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{11}{19}, \frac{15}{26}, \frac{71}{123}, \frac{228}{395}, \frac{3035}{5258}, \frac{15403}{26685}, \frac{18438}{31943}, \cdots

Samband med speciella funktioner[redigera | redigera wikitext]

Gammafunktionen[redigera | redigera wikitext]

Eulers konstant är relaterad till gammafunktionen via Weierstrassprodukten

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

och uppträder i Maclaurinserien för den reciproka gammafunktionen,

\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + O(z^3).

Den kan också beräknas som en derivata av gammafunktionen,

\gamma = -\Gamma'(1),

eller via gränsvärdet

 \gamma = \lim_{x \to \infty} \left[x - \Gamma \left(\frac{1}{x}\right) \right.

Andra gränsvärden är

 \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma
 \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}.
 \gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}
\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(\Gamma(k+1)).

Riemanns zetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Kopplingen till Riemanns zetafunktion framgår exempelvis av

\gamma = \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k\zeta(k)}{k}.

Andra serier som innehåller zetafunktionen är

\begin{align}\gamma &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}} = 1 + \ln 2 - \ln 3 - \gamma = 0,0173192269903….


\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align}

Ett intressant gränsvärde är

 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) = \lim_{s \to 0} \frac{\zeta(1+s)+\zeta(1-s)}{2}

En annan formel är

\gamma = H_n - \ln n -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

där ζ(s,k) är Hurwitzs zeta-funktion.

Integraler[redigera | redigera wikitext]

Det finns massor med integraler för Eulers konstant:

\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx = -4\int_0^\infty { e^{-x^2} x \ln x }\,dx\\
 &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\
 &= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\
 &= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0\\
 &= \int_0^\infty \left(\frac1{kx+1} - e^{-kx}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0\\
 &= \int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x)}{\ln^2 x + \pi^2}\cdot\frac{dx}{x^2}\\
 &= \frac{1}{2} + 2\int_0^\infty \frac{\sin(\arctan x)}{(e^{2\pi x} - 1)\sqrt{1 + x^2}} \mathrm{d}x= \int_0^1 H_{x} dx = -\int_0^\infty \left (\frac{\ln x}{e^x} \right)dx  \end{align}.

Integraler som resulterar i mer komplicerade konstanter är

 \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .

En dubbelintegral för gamma är

 \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right ).

Det är intressant att notera att

 \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right).

En integral av Catalan är

 \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx.

Oändliga serier[redigera | redigera wikitext]

En oändlig serie av Euler är

\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].

Andra oändliga serier är

 \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} .

Andra serier av Vacca är

{
 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \frac12-\frac13
  + 2\left(\frac14 - \frac15 + \frac16 - \frac17\right)
  + 3\left(\frac18 - \frac19 + \frac1{10} - \frac1{11} + \dots - \frac1{15}\right) + \dots
}
{\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=2}^\infty\left(\frac1{\lfloor \sqrt{k} \rfloor^2} - \frac1{k}\right) = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2} \sum_{k=1}^{2 \times 2} \frac k {k+2^2} + \frac1{3^2} \sum_{k=1}^{3 \times 2} \frac k {k+3^2} + \dots} .

En annan formel är

 \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.

Oändliga produkter[redigera | redigera wikitext]

Några oändliga produkter som innehåller Eulers konstant är

 \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n
 \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n
 e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4}
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5} \cdots .

Övriga formler[redigera | redigera wikitext]

En formel av de la Vallée-Poussin

\begin{align} \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).\end{align}

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Genom att i stället för den harmoniska serien välja den harmoniska primtalsserien, och dess asymptot ln ln, fås Meissel-Mertens konstant

M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \sum_{p \leq n} \frac{1}{p}  - \ln \ln n \right].

Gränsvärdet för Eulers konstant kan generaliseras till

\gamma_f = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) \, dx \right]

där f är en godtycklig positiv, avtagande funktion. Funktionen

f_n(x) = \frac{\ln^n x}{x}

ger exempelvis upphov till Stieltjes konstanter, varav Eulers konstant är den nollte. Funktionen

f_a(x) = x^{-a}

ger vidare

\gamma_{f_a} = \frac{(a-1)\zeta(a)-1}{a-1}.

Speciellt gäller gränsvärdet

\gamma = \lim_{a\to1}\left[ \zeta(a) - \frac{1}{a-1}\right]

för Eulers konstant.

Ytterligare en generalisering är Masser–Gramains konstant, som uppkommer genom ett liknande gränsvärde men i det komplexa talplanet i stället för längs den reella tallinjen.

Euler-Lehmers konstanter definieras som

\gamma(a,q) = \lim_{x\to \infty}(\sum_{0<n\le x, n\equiv a (mod q)} \frac{1}{n}-\frac{\log x}{q}).

Deras enklaste egenskaper är

\gamma(0,q) = \frac{\gamma -\log q}{q},
\sum_{a=0}^{q-1} \gamma(a,q)=\gamma,
q\gamma(a,q) = \gamma-\sum_{j=1}^{q-1}e^{-2\pi aij/q}\log(1-e^{2\pi ij/q}),

och om gcd(a,q)=d,

q\gamma(a,q) = \frac{q}{d}\gamma(a/d,q/d)-\log d.

Talteori[redigera | redigera wikitext]

Eulers konstant förekommer i ett stort antal formler inom talteori, såsom


\sum_{k=1}^n d(n) = n \ln n + (2\gamma - 1) n + O(\sqrt{n}).

En olikhet för Eulers fi-funktion är

 \varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}, \quad (n > 2) \!\, 
.

Eulers konstant har djupa konnektioner med primtal:

\begin{align}
e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ primtal}} \left( 1-\frac 1p \right)^{-1} \\
\frac{6}{\pi^2}e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ primtal}} \left( 1+\frac 1p \right). \\
\end{align}

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9.
  • Dunham, William (1999). Euler, The Master of Us All (Dolciani Mathematical Expositions, No 22). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.