Eulertal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Den här artikeln handlar om den matematiska heltalsföljden. För det dimensionslösa talet, se Eulertal (fysik).

Eulertalen är heltalsföljd som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik. Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n-te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen En kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E*n). Med nämnda beteckningar gäller

E*1 = 1
E*2 = 5
E*3 = 61
E*4 = 1385
E*5 = 50521
E*6 = 2702765
E*7 = 199360981
E*8 = 19391512145
E*9 = 2404879675441
E*10 = 370371188237525
E*11 = 69348874393137901

(talföljd A000364 i OEIS)

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1385
E10 = −50521
E12 = 2702765
E14 = −199360981
E16 = 19391512145
 
E1, 3, 5, ... = 0

(talföljd A122045 i OEIS)

och sambandet

E_{2n} = (-1)^n E_n^*.

Talen definieras av de genererande funktionerna

\mathrm{sec}\;x = \sum_{k=0}^\infty | E_k | \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty E_k^* \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{277x^8}{8064} + \ldots
\mathrm{sech}\;x = \sum_{k=0}^\infty E_k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} E_{k}^* \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} - \frac{61x^6}{720} + \frac{277x^8}{8064} - \ldots

där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.

Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen.

Asymptotiskt växer talen som

E_{2n} \sim (-1)^n 8 \sqrt{\,\frac{n}{\pi}} \left( \frac{4 n}{\pi e} \right)^{2n}.

De kan även beräknas med integralen

\int_0^\infty \frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\, dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}.

Explicita formler[redigera | redigera wikitext]

Ändlig summa[redigera | redigera wikitext]

Eulertalen ges av formeln

E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}

där i är den imaginära enheten.

Determinant[redigera | redigera wikitext]

E2n kan även definieras som determinanten


\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}


Se även[redigera | redigera wikitext]