Exponentialfunktion

Från Wikipedia

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

$\ y = e^x$

eller

$\ y = \exp(x)$

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positivt, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen periodisk: Om x = it där t är ett reellt tal och i den imaginära enheten, så gäller att

$e^{it} = \cos(t) + i \, \sin(t), \qquad e^{i(t + 2\pi)} = e^{it}.$

[redigera] Egenskaper

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

$\ a^x = e^{x \ln(a)}$

där a > 0 kallas basen. Det är på detta sätt det definieras för komplexa tal, närmare bestämt som

$\ a^b := \exp(b \log a)$ , där

log

betecknar en lämplig gren av den komplexa (flervärda) logaritmen.

Några räkneregler (gäller för alla $a\neq0$ ):

$\ a^0 = 1 \,\!$

$\ a^1 = a \,\!$

$\ a^{-x} = {1 \over a^x}\,\!$

$\ a^xa^y = a^{x+y}\,\!$

$\ {a^x \over a^y} = a^{x-y}\,\!$

$\ a^{xy} = (a^x)^y\,\!$

$\ (ab)^x = a^xb^x\,\!$

$\ a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}\,\!$

[redigera] Derivator och differentialekvationer

Derivatan av en exponentialfunktion är åter en exponentialfunktion, närmare bestämt

${d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!$

eller allmänt

$\ {d \over dx}a^{kx} = \ln(a)ka^{kx} \,\!$

Detta ger att en differentialekvation av första ordningen

${dy \over dx} + ay = 0$

har följande lösning

$\ y = Ce^{-ax}$

Detta uttryck används för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och det ger en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

[redigera] Definition

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

Som en potensserie:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{1 \cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots;$
Som den unika lösningen till följande integralekvation:

$f(x) = 1 + \int_0^x f(y) \, dy;$
Som talet e upphöjt till talen x;
Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen;
Som en gränsfunktion:

$e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$

Av dessa kan definitionerna 1 och 5 generaliseras till att gälla mer abstrakta rum är de reella talen. Exempelvis kan man definiera en "exponentialfunktion" i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

[redigera] Se även

Exponentialfunktion

Från Wikipedia

Innehåll

[redigera] Egenskaper

[redigera] Derivator och differentialekvationer

[redigera] Definition

[redigera] Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Skapa en bok

Verktygslåda

På andra språk