Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

$\ y = e^x$

eller

$\ y = \exp(x)$

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positiv, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen periodisk: Om x = it där t är ett reellt tal och i den imaginära enheten, så gäller att

$e^{it} = \cos(t) + i \, \sin(t), \qquad e^{i(t + 2\pi)} = e^{it}.$

Egenskaper

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

$\ a^x = e^{x \ln(a)}$

där a > 0 kallas basen. Det är på detta sätt exponentialfunktionen definieras för komplexa tal, närmare bestämt som

$\ a^b := \exp(b \log a)$

där log-funktionen är definierad för en gren av den komplexa (flervärda) logaritmen.

Några räkneregler (gäller för alla $a\neq0$):

$\ a^0 = 1 \,\!$

$\ a^1 = a \,\!$

$\ a^{-x} = {1 \over a^x}\,\!$

$\ a^xa^y = a^{x+y}\,\!$

$\ {a^x \over a^y} = a^{x-y}\,\!$

$\ a^{xy} = (a^x)^y\,\!$

$\ (ab)^x = a^xb^x\,\!$

$\ a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}\,\!$

Derivator och differentialekvationer

Derivatan av en exponentialfunktion är också en exponentialfunktion, närmare bestämt är

${d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!$

eller allmänt

$\ {d \over dx}a^{kx} = \ln(a)ka^{kx} \,\!$

Detta innebär att en differentialekvation av första ordningen

${dy \over dx} + ay = 0$

har lösningen

$\ y = Ce^{-ax}$

vilken kan användas för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Definition

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

1. Som en potensserie:

   $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{1 \cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots;$

2. Som den unika lösningen till integralekvationen

   $f(x) = 1 + \int_0^x f(y) \, dy;$

3. Som talet e upphöjt till talet x
4. Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen
5. Som en gränsfunktion:

   $e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$

Definitionerna 1 och 5 kan generaliseras till att gälla mer abstrakta rum än de reella talen. Exempelvis kan en "exponentialfunktion" definieras i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Se även

• Exponentiell avbildning
• Matrisexponential