Exponentialfunktion

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Exponentialfunktionen)
Hoppa till: navigering, sök
Exponentialfunktionen y = e^x

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet

där r^x är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

  • f(x) = C \cdot e^{kx}
  • f(x) = C \cdot a^{x}
  • f(x) = e^{kx + a}

Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = e^x (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). [1]

Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att

f(x) = e^x \quad\Rightarrow\quad f'(x) = f(x)

det vill säga, exponentialfunktionen är sin egen derivata. Därför är det ofta lämpligt att skriva om exponentialfunktioner till basen e när de används exempelvis vid deriveringar eller i differentialekvationer.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

  1. Som en potensserie:
    e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{1 \cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots;
  2. Som den unika lösningen till integralekvationen
    f(x) = 1 + \int_0^x f(y) \, dy;
  3. Som talet e upphöjt till talet x
  4. Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen
  5. Som en gränsfunktion:
    e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n

Definitionerna 1 och 5 kan generaliseras till att gälla mer abstrakta rum än de reella talen. Exempelvis kan en "exponentialfunktion" definieras i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Derivator och differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Exponentialfunktionens derivata är lika med funktionsvärdet. Från en godtycklig punkt P på kurvan (blå), bildar tangenten (röd) och en vertikal linje (grön) med höjden h, en rätvinklig triangel med basen b. Då tangentens lutning i P är h/b och derivatan är lika med funktionsvärdet h, måste b alltid vara lika med 1

Derivatan av en exponentialfunktion är också en exponentialfunktion, närmare bestämt är

{d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!

eller allmänt

\ {d \over dx}a^{kx} = \ln(a)k\,a^{k x}

Detta innebär att en differentialekvation av första ordningen

{dy \over dx} + ay = 0

har lösningen

\ y = Ce^{-a x}

vilken kan användas för att beräkna radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och en approximation av tillväxten av en population, då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Exponentialfunktioner med reella argument[redigera | redigera wikitext]

Några egenskaper hos exponentialfunktioner när x är ett reellt tal:

Exponentialfunktioner med komplexa argument[redigera | redigera wikitext]

En exponentialfunktion med ett komplext argument kan skrivas på formen f(x) = C \cdot e^{(a+bi)x}, som i sin tur kan skrivas på formen f(x) = C \cdot e^{ax} \cdot e^{i \cdot bx}. De första två faktorerna beter sig som en reell exponentialfunktion, med eventuell anpassning för att C kan vara ett komplext tal, medan den sista faktorn bildar komplexvärd funktion.

Den komplexvärda faktorn kan beskrivas med sambandet e^{ix} = \cos(x) + i \, \sin(x). Av detta följer också att exponentialfunktioner med rent imaginära argument ger en periodisk funktion, enligt \ e^{i(x + 2\pi)} = e^{ix}.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Kiselman, Christer; Mouwitz, Lars (2008). Matematiktermer för skolan. Nationellt Centrum för Matematikutbildning. Sid. 143. ISBN 978-91-85143-12-2 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.