Exponentialfunktion

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Exponentialfunktionen)
Hoppa till: navigering, sök
Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

\ y = e^x

eller

\ y = \exp(x)

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positiv, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen periodisk: Om x = it där t är ett reellt tal och i den imaginära enheten, så gäller att

e^{it} = \cos(t) + i \, \sin(t), \qquad e^{i(t + 2\pi)} = e^{it}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

\ a^x = e^{x \ln(a)}

där a > 0 kallas basen. Det är på detta sätt exponentialfunktionen definieras för komplexa tal, närmare bestämt som

\ a^b := \exp(b \log a)

där log-funktionen är definierad för en gren av den komplexa (flervärda) logaritmen.

Några räkneregler (gäller för alla a\neq0):

\ a^0 = 1 \,\!
\ a^1 = a \,\!
\ a^{-x} = {1 \over a^x}\,\!
\ a^xa^y = a^{x+y}\,\!
\ {a^x \over a^y} = a^{x-y}\,\!
\ a^{xy} = (a^x)^y\,\!
\ (ab)^x = a^xb^x\,\!
\ a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}\,\!

Derivator och differentialekvationer[redigera | redigera wikitext]

Derivatan av en exponentialfunktion är också en exponentialfunktion, närmare bestämt är

{d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!

eller allmänt

\ {d \over dx}a^{kx} = \ln(a)ka^{kx} \,\!

Detta innebär att en differentialekvation av första ordningen

{dy \over dx} + ay = 0

har lösningen

\ y = Ce^{-ax}

vilken kan användas för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

  1. Som en potensserie:
    e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{1 \cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots;
  2. Som den unika lösningen till integralekvationen
    f(x) = 1 + \int_0^x f(y) \, dy;
  3. Som talet e upphöjt till talet x
  4. Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen
  5. Som en gränsfunktion:
    e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n

Definitionerna 1 och 5 kan generaliseras till att gälla mer abstrakta rum än de reella talen. Exempelvis kan en "exponentialfunktion" definieras i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.