Ext-funktorn

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktioner av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt R vara en ring och låt ModR vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i ModR och låt T(B) = HomR(A,B) för något fixerat A i ModR. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RnT. Ext-funktorn definieras som

\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nT)(B).

Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution

0 \rightarrow B \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \dots,

och sedan räkna

0 \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \rightarrow \dots.

Då är (RnT)(B) homologin av detta komplex. Notera att HomR(A,B) utelämnas från komplexet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Om Ext1R(A, B) = 0 för alla A är ExtiR(A, B) = 0 för alla A och B är injektiv; om Ext1R(A, B) = 0 för alla B är ExtiR(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.
  • \operatorname{Ext}^n_R \left (\bigoplus_\alpha A_\alpha,B \right )\cong\prod_\alpha\operatorname{Ext}^n_R(A_\alpha,B)
  • \operatorname{Ext}^n_R \left (A,\prod_\beta B_\beta \right )\cong\prod_\beta\operatorname{Ext}^n_R(A,B_\beta)

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ext functor, 20 februari 2014.