Födelse- och dödsprocess

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Födelse- och dödsprocess är en speciell stokastisk process som används inom köteori och för att modellera befolkningsutveckling.

Användning för att modellera befolkningsutveckling[redigera | redigera wikitext]

En linjär födelse- och dödsprocess kan till exempel beskriva hur arter eller populationer utvecklas. Nybildning och utdöd av de individer som processen representerar är proportionell mot antal individer. Födelse- respektive dödstakten för hela processen är \lambda X(t) och \mu X(t), där X(t) representerar tillståndet, det vill säga antal individer. Parametrarna \lambda och \mu är konstanter.

p_k(t) representerar sannolikheten att processen vid tiden t innehåller k individer, alltså p_k(t) = P(X(t)=k), där X(t) är en stokastisk process.

Parametrarna \lambda och \mu representerar takten varvid en enskild individ, föds respektive dör. Vi vill beskriva sannolikheten att vi har k individer vid tiden t + \Delta t, alltså X(t+\Delta t)=k. Det finns olika sätt att härleda processen X(t+\Delta t)=k. I denna härledning utgår vi ifrån att det finns följande olika sätt för processen att hamna på X(t)=k under tidssteget.


  1. Det finns k individer och ingenting händer under tidssteget \Delta t.
  2. Det finns k-1 individer och en ny individ bildas under tidssteget \Delta t.
  3. Det finns k+1 individer och en individ dör ut under tidssteget \Delta t.
  4. Det finns k \pm n och n individer bildas/dör ut under tidssteget \Delta t.

För godtyckligt små \Delta t kommer då följande ekvation att gälla.


p_k(t+\Delta t) = \overbrace{p_k(t)(1-(k \lambda + k \mu)\Delta t)}^{1} + \overbrace{p_{k-1}(t) \lambda(k-1) \Delta t}^{2} + \overbrace{p_{k+1}(t) \mu (k+1) \Delta t}^{3}  + \overbrace{\mathcal{O}(\Delta t^2)}^{4}


Högerledets första term representerar sannolikheten att ingenting händer under tidssteget. Den andra termen representerar sannolikheten att en individ dör ut och den tredje att en ny individ bildas. Ordo-termen representerar att fler än en händelse förekommer under tiden \Delta t. Genom att subtrahera p_k(t) och dividera båda leden i ekvationen med \Delta t och låta \Delta t \rightarrow 0 får vi en differens- differentialekvation för p_k(t) i tidpunkten t.



p_k '(t) = -k (\lambda + \mu) p_k(t) + \lambda(k-1)  p_{k-1}(t) + \mu (k+1)\mu p_{k+1}(t)


Eftersom \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathcal{O}(\Delta t^2)}{\Delta t} \rightarrow0 kommer sannolikheten att det sker mer än en födelse- eller dödshändelser samtidigt vara noll. För att kunna uttrycka den önskvärda sannolikheten p_k behöver ekvationen lösas vilket görs genom att multiplicera ekvationen med </math>s^k</math> och summera över alla möjliga </math>k</math>.



\sum_{k=0}^{\infty} s^kp_k'(t) = \lambda s^2 \sum_{k=2}^{\infty} (k - 1) s^{k - 2}p_{k-1}(t) - (\lambda + \mu) s \sum_{k=1}^{\infty} k s^{k - 1}p_{k}(t) +  \mu \sum_{k=0}^{\infty} (k + 1) s^{k}p_{k+1}(t)


Ovanstående uttryck innehåller den sannolikhetsgenererande funktionen samt dess derivator. På så sätt erhålls en partiell differentialekvation



\frac{\partial G}{\partial t} = \lambda s^2 \frac{\partial G}{\partial s} - (\lambda + \mu)s \frac{\partial G}{\partial s} + \mu \frac{\partial G}{\partial s} = (\lambda s - \mu)(s - 1) \frac{\partial G}{\partial s}


Begynnelsevärdet får man genom att betrakta den sannolikhetsgenererande funktionen utifrån dess tidsberoende.



G(s,0)= \sum_{k=0}^{\infty}s^k P(X(0)=k) = s^{X(0)}


Sista steget är en följd av att P(X(0)=k) = 0 för alla k \neq X(0), där X(0) är det antal individer som existerar vid t=0.


Lösningen till den partiella differentialekvationen erhålls till exempel med karakteristiska metoden.



G(s,t)=\left\{ \begin{array}{ll}
(\frac{\lambda t(1-s) + s}{\lambda t(1-s) + 1})^{X(0)}, & \mu = \lambda \\
(\frac{\mu (1-s) - (\mu - \lambda s)e^{-t(\lambda - \mu)}}{\lambda t(1-s) - (\mu - \lambda s)e^{-t(\lambda - \mu)}})^{X(0)}, & \mu \neq \lambda \\
\end{array} \right.


Den sannolikhetsgenererande funktionen för födelse- och dödsprocessen är en kvot av två linjära funktioner, vilket gör att man kan använda en så kallad Bruten linjär fördelning för att beskriva processen. Alla sannolikhetsfördelningar vars genererande funktion kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner följer en bruten linjär fördelning med parametrar p_0 och p.



P(X(t)=k)=\left\{ \begin{array}{ll}
p_0, & k = 0 \\
(1-p_0)p(1-p)^{k-1}, & k > 0 \\
\end{array} \right.


Multiplicerar man uttrycket för P(X(t)=k) med s^k och summerar över alla k kan parametrarna p_0 och p uttryckas med hjälp av den sannolikhetsgenererande funktionen.



G(s,t) = \sum_{k=0}^{\infty} s^kp_k(t) = p_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty s^k (1-p_0)p(1-p)^{k-1} = p_0 + (1-p_0)p \sum\limits_{k=0}^\infty s^k (1-p)^k = p_0 + (1-p_0) \frac{ps}{1-s(1-p)}


Parametrarna p_0 och p är funktioner av tid, men kan behandlas som konstanter med avseende på variablerna s och k. Vid varje tidpunkt kommer processen att följa den brutna linjära fördelningen. Parametern p_0 faller ut ur den genererande funktionen i punkten s=0, enligt följande ekvation.



G(0,t) =  \lim_{s \to 0}  \left( p_0+ (1-p_0) \frac{ps}{1-s(1-p)}\right) = p_0


Eftersom man kan uttrycka den sannolikhetsgenererande funktionen för processen, G(s,t) får vi därför följande uttryck för p_0.



p_0(t) = G(0,t) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{\lambda t}{(\lambda t + 1)}, & \mu = \lambda \\
\frac{\mu(e^{t(\lambda - \mu)}-1)}{\lambda e^{t(\lambda - \mu)}-\mu}, & \mu \neq \lambda \\
\end{array} \right.


För att beräkna p använder vi.



G(s,t) =  p_0 + (1-p_0) \frac{ps}{1-s(1-p)} \Leftrightarrow p = \frac{(1-s)(p_0-G(s,t))}{s(G(s,t)-1)}


Använder man den sannolikhetsgenererande funktionen för processen, samt parametern p_o fås parametern p.



p(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{1 +\lambda t}, & \mu = \lambda \\
\frac{\lambda - \mu}{\lambda e^{t(\lambda - \mu)} - \mu}, & \mu \neq \lambda \\
\end{array} \right.


Genom att använda de explicita uttrycken för parametrarna p_0(t) och p(t) fås sammanfattningsvis ett analytiskt uttryck för att beskriva sannolikheten att k individer existerar vid tiden t, givet födelsetakten \lambda och dödstakten \mu.



P(X(t)=k) = \left\{ \begin{array}{ll}
\dfrac{\lambda t}{\lambda t +1}, & \mu = \lambda , \quad k = 0 \\
\dfrac{(\lambda t)^{k-1}}{(\lambda t +1)^{k+1}}, & \mu = \lambda , \quad k > 0 \\
\dfrac{\mu (e^{t(\lambda - \mu)} - 1)}{\lambda e^{t(\lambda - \mu)} - \mu}, & \mu \neq \lambda , \quad k = 0 \\
\dfrac{(\lambda - \mu)^2 e^{t(\lambda - \mu)} \lambda^{k-1}(e^{t(\lambda - \mu)} - 1)^{k - 1}}{(\lambda e^{t(\lambda - \mu)} - \mu)^{k + 1}}, & \mu \neq \lambda , \quad k > 0 \\
\end{array} \right.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.