Faltning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Faltning (från tyskans faltung, vikning) eller konvolution är en matematisk operation, som innebär att en ny integrerbar summafunktion kan bildas av två andra integrerbara funktioner, till exempel sannolikhetsfördelningar. Den omvända operationen kallas dekonvolution.

Faltning introducerades i början av 1900-talet. Metoden hade dock existerat långt innan det, utan att ha getts något namn. Ett uttryck som idag skulle ha förklarats som faltning fanns redan 100 år tidigare och användes av en mängd matematiker.

Förklaring[redigera | redigera wikitext]

Convolucion de entrada con respuesta al impulso.gif

Faltning kan förklaras genom att man låter speglingen av en graf g, glida över en annan graf f, längs en axel. Faltningen av f och g blir då en tredje graf h, som illustrerar den mängd som tillhör både f och g i varje tidpunkt av överlappningen (storleken på den gula arean i varje tidpunkt). Faltningen blir då en slags korsning av de två funktionerna f och g.

Faltning av funktionerna f och g skrivs på följande sätt:

(f * g) \quad f(t), g(t) \in \mathbb{R}^n

Definition[redigera | redigera wikitext]

(f * g)(t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau)\, d\tau

I detta fall motsvarar variabeln t inte nödvändigtvis tiden; det är dock vanligt att den inom praktiska tillämpningar gör just detta.

Faltning i matematisk statistik[redigera | redigera wikitext]

Faltning kan användas inom sannolikhetsberäkningar där man då kan räkna ut sannolikheten mellan olika utfall. Faltning är inom den matematiska statistiken bildandet av en stokastisk variabel som är en summa av två andra stokastiska variabler.

Exempel

Två sexsidiga tärningar kastas. Utfallet från var och en av de två tärningarna är antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 med vardera en sjättedels sannolikhet. Genom faltning av dessa två stokastiska variabler kommer man fram till att summan av utfallen från de två tärningarna antar värden med sannolikheter enligt följande tabell:

Självkonvolution av en rektangulär fördelning ger en triangelfunktion.
Summa Sannolikhet
2 1:36
3 2:36
4 3:36
5 4:36
6 5:36
7 6:36
8 5:36
9 4:36
10 3:36
11 2:36
12 1:36

Faltning i signalbehandling[redigera | redigera wikitext]

Inom signalbehandlingen är faltning en matematisk operation, som bland annat används när linjära filter appliceras. Ett exempel på ett sådant fall är om en signal f innehåller vissa störningar och man istället vill ta fram ett medelvärde av f över en viss tid. Man kan då välja en signal g av lämpligt utseende och låta den "glida" över f. Den resulterande signalen h illustrerar då ett medelvärde av f under valt antal tidsenheter. Detta ger då en tydligare signal där oväsentliga avvikelser eliminerats.

Dekonvolutionen brukar här benämnas inversfiltrering.

Den tidskontinuerliga formen är:

y(t) = x(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-u) h(u) du

Den tidsdiskreta formen är:

y[n] = x*h = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_{n-m} h_m

Faltning motsvaras i frekvensdomänen av multiplikation och vice versa. Exempelvis gäller för laplacetransformen att

\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Räkneregler[redigera | redigera wikitext]

Några räkneregler som gäller vid faltning är följande:

  • (f * g)=(g * f)\ \ \,
  •  (f * (g * h))=((f * g) * h)\ \ \,
  • (f * (g + h))=((f * g) + (f * h))\ \ \,
  • (a(f * g))=((af) * g)=(f * (ag))\ \ \,

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt f(t) vara ett mätvärde av någon process som varierar med tiden. I dessa mätvärden har olika störningar dykt upp, vilket ger upphov till ointressanta avvikelser i mätvärdena. Vi vill nu istället ersätta f med en ny funktion f′(t) som är ett medelvärde av f(t) under intervallet [t - τ,t], så att de senaste värdena av f ges störst vikt. Det går då att införa ytterligare en funktion g med lämpligt utseende, till exempel en tidspuls. Vi antar också att \scriptstyle{\int_{0}^{\tau}g(t)dt} = 1. Vi kan då multiplicera t med g och sedan integrera över intervallet [t - τ,t].

Detta ger att:

f^\prime (t)=\int_{t-\tau}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=(f * g)

En viktig egenskap hos faltning är att även om f bara är kontinuerlig så blir (f * g) deriverbar om vi väljer g deriverbar. Väljs g' två gånger deriverbar blir också (f * g) två gånger deriverbar.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Webbkällor
Tryckta källor

Se även[redigera | redigera wikitext]