Fermattal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett fermattal är inom talteorin ett naturligt tal, som kan skrivas på formen:

2^{2^n}+1

där n är ett naturligt tal.

Ett fermattal betecknas Fn , där

F_n= 2^{2^n }+1

De sju första Fermattalen är (talföljd A000215 i OEIS):

F_0=3\,
F_1=5\,
F_2=17\,
F_3=257\,
F_4=65\,537
F_5= 4\,294\,967\,297
F_6=18\,446\,744\,073\,709\,551\,617.

Fermattalen studerades först av Pierre de Fermat, som förmodade att de alla var primtal.[1] Hypotesen visade sig dock vara falsk. Leonhard Euler fann 1732 att F5 = 4 294 967 297 = 641·6 700 417. De fermattal, som är primtal kallas Fermatprimtal och de enda sådana, som man känner till är 3, 5, 17, 257 och 65537.

Fermattalen är parvis relativt prima.

Andra intressanta egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ett Fermattal kan inte vara perferkt eller en del av ett par av vänskapligt tal. (Luca 2000)

Serien av reciprokerna av alla primtalsfaktorer av Fermattalen konvergerar. (Křížek, Luca & Somer 2002)

Om nn + 1 är ett primtal, finns det ett heltal m suså att n = 22m. Ekvationen nn + 1 = F(2m+m) gäller samtidigt.[2]

Låt den största primtalsfaktorn av Fermattalet Fn vara P(Fn). Då är

P(F_n)\ge 2^{n+2}(4n+9)+1. (Grytczuk, Luca & Wójtowicz 2001)

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, Allyn and Bacon 1980.
  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York 1972.

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Kenneth H. Rosen (2011) (på engelska). Elementary Number Theory and Its Applications (6). ISBN 0321717759 
  2. ^ Jeppe Stig Nielsen, "S(n) = n^n + 1".
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.