Finita differensmetoden

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Säg att man vill beräkna funktionens f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutvecka f(x + Δx):

f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta x \frac{f'(x)}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{f''(x)}{2!} + \dots.

Om man löser ut f'(x0) får man:

f'(x) = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \Delta x \frac{f''(x)}{2!} + \dots \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x - \Delta x)}{\Delta x}

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

 f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2 \Delta x}.

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

 f''(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - 2f(x) + f(x - \Delta x)}{(\Delta x)^2}

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Som exempel, betrakta Poissonekvationen -\Delta u = f på en kvadratisk domän \Omega

Om Laplaceoperatorn \Delta utvecklas fås

 -\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)= f

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

-\left( \frac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{(\Delta y)^2}\right) = f

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen \Omega.

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s \Delta x = \Delta y = h. Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

 u_{j,k} = \left(h^2f + u_{j+1,k}+u_{j-1,k}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}  \right)/4

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1