Finita differensmetoden

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Innehåll

Säg att man vill beräkna funktionens f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutvecka f(x + Δx):

$f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta x \frac{f'(x)}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{f''(x)}{2!} + \dots$ .

Om man löser ut f'(x₀) får man:

$f'(x) = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \Delta x \frac{f''(x)}{2!} + \dots \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

$f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x - \Delta x)}{\Delta x}$

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

$f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2 \Delta x}$ .

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

$f''(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - 2f(x) + f(x - \Delta x)}{(\Delta x)^2}$

Som exempel, betrakta Poissonekvationen $-\Delta u = f$ på en kvadratisk domän $\Omega$

Om Laplaceoperatorn $\Delta$ utvecklas fås

$-\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)= f$

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

$-\left( \frac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{(\Delta y)^2}\right) = f$

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen $\Omega$ .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s $\Delta x = \Delta y = h$ . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

$u_{j,k} = \left(h^2f + u_{j+1,k}+u_{j-1,k}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1} \right)/4$

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1