Fouriertransform

Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet. För det statligt ägda riskkapitalbolaget, se Fouriertransform AB.

Fouriertransformen, efter Jean Baptiste Joseph Fourier, är en transform som ofta används till att överföra en funktion från tidsplanet till frekvensplanet. Där uttrycks funktionen som summan av sina sinusoidala basfunktioner, eller deltoner. En förutsättning är att basfunktionerna är ortogonala. Det gör t.ex. en transformering till eller från frekvensplanet relativt enkel.

Fouriertransformen är definierad för såväl tidskontinuerliga som tidsdiskreta signaler. När den används på tidsbegränsade eller periodiska signaler benämns resultatet normalt Fourierserier.

Efter den moderna tidens datorutveckling (från ca 1960) har ämnet aktualiserats då man först kunnat tillverka signalprocessorer dedikerade till diskret Fouriertransform. Behovet av effektiv programkod ledde bland annat till utveckling av snabb Fouriertransform. Tillämpat i behandling av ljudsignaler är det inte längre några svårigheter att utföra transformerna i realtid endast med mjukvaruimplementering. Det finns dock inga antaganden att varken metoder eller processorteknologi skulle begränsa framtida utveckling och applikationer.

Definitioner

Tidskontinuerlig Fouriertransform

Fouriertransformen för en integrabel funktion $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$, definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(t)) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

För lämpliga funktioner f, kan f återskapas från F genom motsvarande inverstransform:

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(t,\omega) = e^{i\omega t},\ \omega,t\in\mathbb{R}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(t,\omega_1),\Phi(t,\omega_2) \right\rangle = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \Phi(t,\omega_1) \Phi^*(t,\omega_2) \, dt$

$= \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{i\omega_1t} e^{-i\omega_2t} \, dt = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidskontinuerliga Fouriertransformen är en variant av Laplacetransformen, med parametern s = iω. Egenskaper för Fouriertransformen är:

• Linjäritet

$\mathcal{F}\left(af(t) + bg(t)\right) = a\mathcal{F}(f(t)) + b\mathcal{F}(g(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

• Derivering

$\mathcal{F}\left(\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right) = (i\omega)^{(n)}F(\omega)$

$\mathcal{F}((-it)^n f(t)) = \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}$

• Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(t)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(t)g(t)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$

• Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(t-T)) = e^{-i\omega T}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega t}f(t)) = F(\omega-\Omega)$

Tidsdiskret Fouriertransform

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(n), n\in\mathbb{Z}$, definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(n)) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{-i\omega n}$

Motsvarande inverstransform:

$f(n) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F(\omega) e^{i\omega n}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(n,\omega) = e^{i\omega n},\quad \omega\in\{\mathbb{R}:\,[-\pi,\pi]\}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(n,\omega_1),\Phi(n,\omega_2) \right\rangle = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} \Phi(n,\omega_1) \Phi^*(n,\omega_2)$

$= \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} e^{i\omega_1n} e^{-i\omega_2n} = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidsdiskreta Fouriertransformen är en variant av Z-transformen, med parametern z = e^iω. Egenskaper för Fouriertransformen är:

• Linearitet

$\mathcal{F}\left(af(n) + bg(n)\right) = a\mathcal{F}(f(n)) + b\mathcal{F}(g(n)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

• Derivering

$\mathcal{F}((-in)^m f(t)) = \frac{d^m F(\omega)}{d\omega^m}$

• Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(n)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(n)g(n)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$ (cyklisk faltning över 2π)

• Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(n-m)) = e^{-i\omega m}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega n}f(n)) = F(\omega-\Omega)$

Φ(n,ω) (och därmed F(ω)) är en periodisk funktion med periodiciteten 2π.

Användning

Fouriertransformen har helt naturligt stor betydelse inom signalteorin där frekvensanalys är av central betydelse men även mer allmänt inom matematiken och i dess användning finner man direkt släktskap mellan astronomi och magnetkamera - ultraljud:

Inom matematiken

Fouriertransformen är ett kraftigt verktyg vid lösning av differentialekvationer samt inom statistiken. I form av snabb fouriertransform kommer den till användning även i talteori vid beräkning av produkten mellan tal med valfritt antal siffrors noggrannhet och är därmed av uppenbar betydelse även inom kryptologi.

Inom signalbehandling, radio, ljud, bild och data

I form av FFT används den numera även rutinmässigt, "inbyggd" i signalprocessorer i samband med dataöverföring, filtrering mm men idag även vid modulation/demodulation, exempelvis vid Software-defined radio (SDR) som inneburit helt nya möjligheter till energieffektiv signalbehandling inom radiotekniken och då naturligtvis även inom astronomin. Samma teknik kommer till mer vardagligt bruk i samband med datalagring, för ljud- och bildbehandling, digital television, vid kryptering och vid komprimering till mp3 eller jpeg.

Inom interferometrin, medicinsk diagnostik mm

Det finns även exempel på att använda Fouriertransformen inom optiken, radartekniken, exempelvis vid dopplerradar som har viss likhet med astronomisk interferometri som möjliggjorts via FFT ("fourierinterferometri") där ett av de mer berömda exemplen är den topografiska kartering av planeten Mars som kunde göras med teleskop från jorden. Just denna teknik används även vid ekolodning med side scan sonar som används vid marinarkeologi för att i realtid visa bottentopografin, sjunkna föremål, idag översvämmade fornlämningar mm. Utan just denna form av signalbehandling med signalprocessorer med FFT hade vi ej haft ultraljudsdiagnostik, ej heller magnetkameror.

Se även

• Fourierserie
• Laplacetransform
• Z-transform