Fraktal
Wikipedia
En fraktal, ibland monsterkurva[1], brukar definieras som "ett självsimulerande mönster med struktur i alla skalor", vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger.
Fraktaler kan sägas befinna sig i gränslandet mellan slump och kaos.[källa behövs]
Innehåll |
[redigera] Historia
Ordet fraktal konstruerades på 1970-talet av den franske matematikern Benoît B. Mandelbrot och kommer av latinets fractus som betyder "del av" (fraktion) och syftar på att fraktaler ofta har dimensionstal som inte är heltal. En sierpinskitriangel har till exempel dimensionen log3 / log2 vilket är ungefär 1,58496. Mandelbrot är för övrigt den person som sett till att popularisera fraktalmatematik men han var inte den förste att arbeta med liknande system. Redan ca 100 år tidigare skapades de första fraktala funktionerna av bland annat Giuseppe Peano. Även svensken Helge von Koch var tidigt ute och beskrev redan år 1904 Koch-kurvan och von Kochs snöflinga. Andra pionjärer var till exempel: Pierre Fatou, Gaston Julia och Karl Menger.
[redigera] Fraktalers dimension
Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal. För att kunna fastställa dimensionen för en fraktal behövs matematiska definitioner på begreppet dimension. Här följer några vanliga definitioner:
- Hausdorffdimension
- Lådräkningsdimension – används vid numerisk beräkning av dimension.
[redigera] Naturens matematik
För att skapa en ormbunksliknande fraktal som i Figur 1 används ett itererat funktionssytem ("IFS") där funktionerna är ett system av fyra olika affina transformationsregler. Den affina transformationens formel kan se ut på följande sätt:
För att skapa ormbunksbladet så har konstanterna i de fyra reglerna följande värden:
| IFS | a | b | c | d | e | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,0 | 0,35 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,7 |
| 2 | 0,2 | 0,23 | 0,26 | 0,22 | 0,0 | 1,3 |
| 3 | -0,15 | 0,26 | -0,28 | 0,24 | 0,0 | 0,44 |
| 4 | 0,85 | -0,04 | -0,04 | 0,85 | 0,0 | 1,6 |
Den första regeln är den som skapar bladets "stam" och som synes är konstanterna a, c, e samtliga lika med 0 (noll) vilket kommer att sätta variabeln x till noll. Stammen har ingen bredd, bara höjd, vilket betyder att den har endast en dimension. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning (det går inte att visa mindre än en pixel). Som nämnts ovan är en fraktal självsimulerande. De övriga reglerna kopierar stammen och skapar de mindre (sekundära) bladens stammar som inte heller de är utbredda i mer än en dimension. Upprepas någon av dessa regler flera gånger i rad kommer stammen för den tredje nivån att skapas o.s.v. Hela ormbunksbladet består egentligen inte av något annat än bladstammar som inte har någon utbredning. Om man betraktar det från en strikt matematisk synvinkel skulle det vara osynligt. Bladet syns endast på grund av att det visas med den digitalt begränsade datorgrafiken och är alltså inte någon matematisk beräkning som skapar ett ormbunksblad, bara endimensionella linjer som egentligen är osynliga. Ett riktigt ormbunksblad däremot består av tredimensionella celler av flera olika typer.
| ” | De ekvationssytem som beskriver modellsystem inom modern teoretisk ekologi är kända för sina kaotiska beteenden, så mycket att de numera har ett mycket större intresse som leksaker, eller en ny slags grafik. Naturliga fenomens matematik blir, när de begränsas till en enstaka disciplin, så intrikat och komplicerad att värld efter värld av färgglada abstraktioner öppnar sig för varje ny nivå som undersöks. Det är inte så konstigt att de som ägnar sig åt detta inom olika ämnesområden tror att det fantasivärldar de ser ger glimtar av den verkliga världen, när de i själva verket gått vilse i Mandelbrots fraktalvärld. | ” |
|
—James Lovelock i boken The Ages of Gaia |
||
[redigera] Kända fraktaler
- Bifurkationsdiagram
- Binära automater
- Cantormängden
- Harter-Heighways drakkurva
- Henons attraktor
- IFS
- Juliamängden
- von Kochs kurva
- Lévys C-kurva
- Lévys drakkurva
- Lorenz attraktor
- L-system
- Lyapunov
- Mandelbrotmängden
- Mengers tvättsvamp
- Peanos kurva
- Sierpinskitriangel
- von Kochs snöflinga
[redigera] Kända fraktalister
- Aristid Lindenmayer
- Benoît B. Mandelbrot
- Edward Lorenz
- Gaston Julia
- Georg Cantor
- Giuseppe Peano
- Helge von Koch
- Karl Menger
- Michael Barnsley
- Paul Pierre Lévy
- Waclaw Sierpinski
- Örjan Stenflo
[redigera] Exempelbilder av fraktaler
[redigera] Fotnoter
- ^ Namnet monsterkurva fick fraktalerna då matematikerna till en början hade stora svårigheter med att behandla fraktalernas märkliga egenskaper. De ansågs vara onaturliga matematiska monster.
[redigera] Se även
[redigera] Externa länkar
Att läsa:
Media:
Program som skapar fraktaler:
- Ultra Fractal - Populärt program för Microsoft Windows.
- Fractint - Finns till de flesta plattformar.
- Makin' Magic Fractals
- ChaosPro - till Microsoft Windows.
- Xaos - Realtidsgenerator - Windows, Mac, Linux, etc.
- FLAM3 - Avancerad IFS-editor och renderare för de flesta plattformar.
- Online Fractal Generator On-line javabaserad fraktalgenerator.
- Illusions IFS Generator — Fraktalprogram och galleri.
- Online Fractal Explorer — En snabb webbaserad mandelbrotutforskare. Genererade fraktaler kan sparas, kommenteras och betygsättas i användarnas galleri.
Wikimedia Commons har media som rör Fraktal
|
Ämnen inom matematik relaterade till rummet: |
Redigera |
| Topologi | Geometri | Trigonometri | Algebraisk geometri | Differentialgeometri | Topologi | Algebraisk topologi | Linjär algebra | Fraktal geometri | Kompakt rum |
