Fresnels integraler

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Fresnels integraler S(x) och C(x) två speciella funktioner uppkallade efter Augustin-Jean Fresnel som är nära relaterade till felfunktionen (erf). De definieras som integralerna

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt.

Serieexpansioner[redigera | redigera wikitext]

Fresnelintegralerna kan skrivas som följande oändliga serier som konvergerar för alla värden på x:

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • C(x) och S(x) är udda funktioner av x.
  • Med att använda serieexpansionen ovan kan Fresnelintegralerna definieras för alla komplexa tal.
  • Fresnelintegralerna kan skrivas med hjälp av felfunktionen på följande vis:
S(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1+i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) -i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right],
C(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1-i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) + i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right].
eller S(z) + i C(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)
\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fresnel integral, 30 november 2013.