Friedmanns ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Friedmanns ekvationer relaterar olika kosmologiska parametrar inom ramen för den allmänna relativitetsteorin. De härleddes av Alexander Friedmann år 1922 från Einsteins fältekvationer under vissa symmetriantaganden lämpliga för en kosmologisk modell. Från dessa ekvationer härleddes Friedmann-Lemaître-Robertson-Walkermetriken för en fluid med en given densitet och tryck. Ekvationerna är:

H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2}


\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho + 3p\right) + \frac{\Lambda}{3}

där \rho och p är densiten och trycket hos fluiden, \Lambda är den kosmologiska konstanten som möjligen kan förklaras av vakuumenergin, G är gravitationskonstanten, k ger universums krökning, och a är skalfaktorn. I dessa ekvationer sätts c till värdet 1 och skulle annars finnas med i ekvationerna. Hubbleparametern H är expansionshastigheten hos universum, ett värde som kan ändras med tiden om andra delar av ekvationen är tidsberoende särskilt energidensiteten, vakuumenergin och krökningen. En bestämning av Hubbleparameterns värde nu ger Hubblekonstanten, som är proportionalitetsfaktorn i Hubbles lag. Tillämpad på en fluid med en given tillståndsekvation ger Friedmanns ekvationer utvecklingen i tiden och geometrin hos universum som en funktion av fluiddensiteten.

Vissa kosmologer kallar den andra av de båda ekvationerna för accelerationsekvationen och reserverar begreppet Friedmanns ekvation för den första av ekvationerna.

Densitetsparametern[redigera | redigera wikitext]

Den första av Friedmanns ekvationer definierar en densitetsparameter som är användbar för att jämföra olika kosmologiska modeller:

\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho

Denna term användes ursprungligen till att bestämma universums geometri och där \rho_c är den kritiska densitet då universum är platt. Om vakuumenergins densitet är noll och \Omega är större än 1 så är geometrin sluten. Om \Omega är mindre än 1 så är universum öppet. Emellertid kan man också inkludera krökningen och vakuumenergin i ett mer generaliserat uttryck för \Omega så att denna energidensitetsparameter blir exakt 1. Då handlar det om att mäta de olika komponenterna som vanligtvis markeras med olika indices. Enligt Lambda-CDM modellen är de viktiga komponenterna hos \Omega baryoner, kall mörk materia och mörk energi. Rumtidens geometri är i det allra nämraste helt platt enligt mätningar som gjorts sonden WMAP vilket betyder att krökningsparametern κ är noll.

Den första av Friedmanns ekvationer skrivs ofta i en form med densitetsparametrar.

\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\lambda} - \frac{k}{a^2}

Här är \Omega_R är densitetsparameterna för strålning, \Omega_M är densitetsparameterna för materia (mörk materia plus baryonisk materia) och \Omega_\lambda är den kosmologiska konstanten eller densiteten för vakuumenergin.

Friedmanns ekvation med annan skala[redigera | redigera wikitext]

Sätt a=ãa0, ρc=3H02/8π, ρ=ρcΩ, t=\tilde{t}/H_0, Ωc=-κ/H02a02 där a0 och H0 är dagens värde på skalfaktorn respektive Hubbleparametern. Då får vi

\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c

där Ueff(ã)=Oã2/2. För varje form av den effektiva potentialen Ueff(ã), finns det en tillståndsekvation p=p(ρ) som ger ekvationen.

Referenser[redigera | redigera wikitext]