Fullständigt mått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett fullständigt mått är ett begrepp inom matematisk måtteori. Ett mått är fullständigt om alla delmängder av nollmängder är mätbara. Dessa mängder kommer då nödvändigtvis ha måttet 0.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum. Måttet µ är fullständigt om

A \in \mathcal{F}, \ B \subset A \ \mbox{och} \ \mu(A) = 0 \ \Rightarrow \ B \in \mathcal{F},

dvs delmängder av A är mätbara mängder. Om måttet i måttrummet är fullständigt man kallas måttrummets fullständigt måttrummet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Alla mått som man har konstruerade med yttre mått vid Carathéodorys kriterion är fullständigt: om \mu^*\, är ett yttre mått, A \subset X\, en µ*-mätbar mängd, \mu^* (A) = 0\, och B \subset A så är

\mu^* (B \cap E) + \mu^* (B \setminus E) \stackrel{\mathrm{monotont}}{\leq} \mu^* (E) + \mu^* (A) = \mu^* (E)

och

\mu^* (E) \stackrel{\mathrm{subadditiv}}{\leq} \mu^* (B \cap E) + \mu^* (B \setminus E) ,

för alla E \subset X\,. Så att B är µ*-mätbar.

Därför är Lebesguemåttet och Hausdorffmåttet fullständiga mått.

Andra exempel är räknemåttet och Diracmåttet

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

  • Man behöver fullständighet i L^p-rummets definitionen eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.