Geometrisk summa

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en geometrisk summa en summa för vilken kvoten mellan varje par av intilliggande termer är konstant.

Formler[redigera | redigera wikitext]

Geometrisk summa:

\sum_{k=m}^n a^k = 
\begin{cases}\frac{a^{n+1} - a^m}{a-1}, \quad &a \neq 1\\n-m+1, \quad &a=1\end{cases}

Geometrisk serie:

\sum_{k=0}^\infty a^k = \frac{1}{1-a}, \quad |a| < 1

Om |a|\geq1 divergerar serien.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

För den geometriska summan

x_1 \,+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5

är förhållandet mellan de intilliggande termerna

\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_3}{x_2} = \frac{x_4}{x_3} = \frac{x_5}{x_4} = a.

vilket exempelvis innebär att

x_5 \,= ax_4 = a^2x_3 = a^3x_2 = a^4x_1.

På samma sätt kan de de övriga termerna bestämmas, vilket tillåter att summan skrivs om enligt

x_1 + a x_1 + a^2 x_1 + a^3 x_1 + a^4 x_1 \,= x_1 (1 + a + a^2 + a^3 + a^4).

Varje geometrisk summa x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5, kan alltså beräknas om det går att beräkna den geometriska summa vars första term är talet ett:

1 \,+ a + a^2 + a^3 + a^4.

Hur stor är denna summa? Beteckna den med S_{5} (en summa med fem termer):

 S_{5} \,= 1 + a + a^2 + a^3 + a^4.

Om denna summa multipliceras med a, blir den nya summan

aS_5 \,= a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5.

Om vi beräknar differensen aS_5 \,- S_5, försvinner alla termer utom a^5 och 1:

aS_5 - S_5 \,= a^5 - 1.

Av detta kan slutsatsen dras att summan S_5 är

S_5 \,= \frac{a^5 - 1}{a-1}.

Den ursprungliga geometriska summan är därför:

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = x_1 \cdot \frac{a^5 - 1}{a-1}, \qquad a = \frac{x_2}{x_1}.

(Denna formel kan inte användas om a = 1 men i detta fall är alla termer lika med den första termen, vilket gör att summan blir x_1 + x_1 + x_1 + x_1 + x_1 = 5 x_1.)

Allmän geometrisk summa[redigera | redigera wikitext]

Den allmänna geometriska summan består av n stycken termer:

x_1 + x_2 + \cdots + x_n, \qquad \frac{x_2}{x_1} = \cdots = \frac{x_n}{x_{n-1}} = a.

Summan kan beräknas på samma sätt som summan S_5; det enda som vi behöver göras är att ersätta talet 5 med talet n:

x_1 + \cdots + x_n = \begin{cases}x_1 \cdot \frac{a^n - 1}{a-1}, \qquad &a \neq 1;\\n \, x_1, \qquad &a=1.\end{cases}

Alternativ härledning av formeln för allmän geometrisk summa[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda oss av den allmänna konjugatregeln kan vi härleda formeln för den allmänna geometriska summan. Den allmänna konjugatregeln är en vidareutvecklig av konjugatregeln

a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (a+b)

till att gälla för exponenter större än 2:

a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b) \cdot \left(\sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k} \, b^{k-1}\right).

Talen a och b kan vara vilka tal (reella eller komplexa) som helst. Om vi låter b vara talet 1, kan vi läsa av formeln för den allmänna geometriska summan:

a^{n+1} - 1 = (a-1) \cdot \left(\sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k}\right) = (a-1) \cdot (1 + a + \cdots + a^n).

Exempel inom talteori[redigera | redigera wikitext]

De så kallade Mersennetalen är positiva heltal som kan uttryckas som 2^n - 1,\, där n är ett positivt heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att Mersennetalet 2^n - 1\, är ett primtal om och endast om den geometriska summan 1 + 2 + 2^2 +  \cdots + 2^{n-1} är ett primtal.

Om exempelvis n=3 så får vi primtal: 2^3-1 \,= 7 och den geometriska summan 1 + 2 + 2^2 \,= 7.

Man kan fråga sig om det finns primtal som kan uttryckas på samma form som Mersenneprimtal, det vill säga som a^n-1,\, där a är ett positivt heltal större än talet två. Svaret på denna fråga är nekande; Den allmänna konjugatregeln visar att ett sådant tal kan faktoriseras: Den ena faktorn är talet a-1\, (som är större än talet ett) och den andra är den geometriska summan 1 + a + \cdots + a^{n-1}.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En viss typ av virus skapar en avkomma en gång per sekund. Hur många viruspartiklar finns det efter en minut om spridningen startar med en enda viruspartikel?

Varje sekund bildas det lika många viruspartiklar som det fanns sekunden innan. I början finns en viruspartikel som får en avkomma, då det finns totalt två viruspartiklar. Dessa får en avkomma var, då vi har fyra viruspartiklar, och så vidare. Det sammanlagda antalet viruspartiklar kan uttryckas som en geometrisk summa bestående av 61 termer:

1 + 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{59}.

Med hjälp av formeln för den allmänna geometriska serien kan vi uttrycka detta som:

1 + 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{59}.= 1 + \sum_{k=0}^{59} 2^k = 1 + \frac{2^{60}-1}{1} = 2^{60}

Detta är ett mycket stort tal, vilket vi kan se om vi uttrycker det som en tiopotens genom att använda en av de så kallade logaritmlagarna:

 2^{60} = 10^{\lg 2^{60}} = 10^{60 \, \lg 2} \approx 10^{60 \cdot 0,301} = 10^{18,06} \approx 10^{18}.

Detta tal kan skrivas som en etta följt av 18 stycken nollor:

2^{60} \approx 1 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000;

vilket är en miljon biljoner.

Geometrisk serie[redigera | redigera wikitext]

En geometrisk serie är ett matematiskt objekt som definieras med hjälp av formeln för den allmänna geometriska summan:

\sum_{k=0}^\infty a^k = 
\frac{1}{1-a}, \quad om \quad  |a| < 1.

Om absolutbeloppet av a är större eller lika med 1, är serien divergent.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Vi kan inte beräkna en geometrisk serie som en summa av oändligt många termer, eftersom vi aldrig kommer att bli färdiga med additionen. Trots detta kan vi, på omvägar, tala om vad slutresultatet skulle ha blivit om vi hade levat för evigt. Matematiskt uttrycker man detta som ett gränsvärde:

Den geometriska serien är ett gränsvärde av den geometriska summan (S_n) då antalet termer (n) växer mot oändligheten.

Med symboler skriver man detta som:

\sum_{k=0}^\infty a^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a^k.

Man läser detta på följande sätt: 'Summa a upphöjt till k, då k går från ett till oändligheten, är lika med, limes då n går mot oändligheten, summa a upphöjt till k då k går från ett till n.'

Vi tillämpar en av räknereglerna för gränsvärde för att visa varför formeln för den geometriska serien ser ut som den gör.

\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a^k = \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n+1}-1}{a-1} = \frac{(\lim_{n\to \infty}a^{n+1})-1}{a-1}.

Vi kräver att talet a skall ligga mellan talen -1 och 1; Detta innebär att gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll:

\lim_{n\to\infty}a^{n+1} = 0, \quad -1 < a < 1.

Om vi sätter in detta resultat i formeln ovan, så ser vi att:

\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a^k = \frac{(\lim_{n\to \infty}a^{n+1}) - 1}{a - 1} = \frac{0-1}{a-1} = \frac{1}{1-a}, \quad -1 < a < 1.

Varför gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll[redigera | redigera wikitext]

När vi säger att gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll, så betyder det att vi kan få talet a^{n+1} så nära noll vi vill, om vi bara låter heltalet n vara tillräckligt nära oändligheten (\infty), det vill säga heltalet n skall vara tillräckligt stort.

Säg att vi vill att avståndet mellan a^{n+1} och noll skall vara mindre än en miljondel, 0.000001:

\vert a^{n+1} - 0 \vert < 0{,}000001

Vi använder räkneregeln för absolutbelopp \vert a^{n+1} \vert = \vert a \vert ^{n+1} för att skriva om olikheten:

\vert a \vert ^{n+1} < 0{,}000001

Denna olikhet kan inte vara sann (för positiva heltal n) om det positiva talet \vert a \vert är större än talet ett; därför måste vi kräva av talet a att dess absolutbelopp är strikt mindre än ett:

\vert a \vert < 1.

Om vi applicerar logaritm-funktionen på olikheten \vert a \vert ^{n+1} < 0.000001 kan vi lösa ut heltalet n:

 \log \vert a \vert^{n+1} < \log 0{,}000001 \quad \Longleftrightarrow \quad n > \frac{\log 0{,}000001}{\log \vert a \vert} - 1.

(Notera att eftersom det positiva talet \vert a \vert är mindre än ett, blir dess logaritm negativ.)

Dessa beräkningar visar att vi kan få avståndet mellan talen a^{n+1} och noll mindre än 0{,}000001, om vi väljer heltalet n större än talet N(0{,}000001,a), där:

N(0{,}000001,a) = \frac{\log 0{,}000001}{\log \vert a \vert} - 1.

Det är inget speciellt med talet 0,000001 i ovanstående beräkningar; hade vi velat att avståndet mellan talet a^{n+1} och noll skulle vara ännu mindre (mindre än ett visst tal, \varepsilon), så kunde vi uppnå detta genom att välja ett tillräckligt stort heltal n (större än talet N(\varepsilon,a).) Det är detta som är innebörden i uttrycket \lim_{n\to\infty} a^{n+1} = 0, eller som man säger på 'matematiska':

\forall \, \varepsilon > 0, \, \exists N(\varepsilon, a) \geq 1: \, \forall \, n > N(\varepsilon, a), \quad \vert a^{n+1} - 0 \vert < \varepsilon.

Denna mening uttalas på följande sätt:

För varje tal \varepsilon>0, existerar det ett tal N(\varepsilon,a)\geq1 sådant att: för varje heltal n>N(\varepsilon,a) gäller olikheten \vert a^{n+1}-0\vert<\varepsilon.

(Symbolen \forall kallas inom logiken för allkvantorn och symbolen \exists för existenskvantorn.)

Vi har härmed visat att gränsvärdet \lim_{n\to\infty} a^{n+1} är lika med talet noll, under förutsättning att absolutbeloppet \vert a \vert är strängt mindre än talet ett.

Se även[redigera | redigera wikitext]