Geometriskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett geometriskt medelvärde av n positiva tal a1,..., an beräknas enligt

 \tilde{a} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Geometriskt medelvärde används exempelvis vid uträkning av den genomsnittliga räntan för ett antal år.

Det geometriska medelvärdet av a_1,...,a_n är mindre än eller lika med motsvarande aritmetiska medelvärde ( \tilde{a}\le \bar{a}), vilket brukar kallas för AM-GM-olikheten.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Den grundläggande egenskapen hos det geometriska medelvärdet, som inte gäller för något annat medelvärde, är att


GM \left (\frac {X_i} {Y_i} \right) = \frac {GM (X_i)} {GM (Y_i)}

Detta gör det geometriska medelvärdet det enda riktiga medelvärdet för normaliserade resultat, det vill säga resultat som presenteras som förhållanden till referensvärden.

Detta är till exempel fallet när datorers prestanda jämförs med avseende på en referensdator eller vid beräkning av ett enda medeltal från flera heterogena källor (exempelvis livslängd, utbildningsår och spädbarnsdödlighet). I dessa fall kan det aritmetiska eller harmoniska medelvärdet ändra rangordningen av de olika värdena beroende på vad som används som referens. Ta till exempel följande jämförelse av exekveringstid för datorprogram:

  Dator A Dator B Dator C
Program 1 1 10 20
Program 2 1000 100 20
Aritmetiskt medelvärde 500,5 55 20
Geometriskt medelvärde 31,622 31,622 20

Det aritmetiska och geometriska medelvärdet indikerar båda att datorn C är den snabbaste. Men genom att presentera på lämpligt sätt normaliserade värden och använda det aritmetiska medelvärdet, kan det visas att någon av de andra två datorerna är den snabbaste. Normalisering av A: s resultat ger A som den snabbaste datorn enligt det aritmetiska medelvärdet:

  Dator A Dator B Dator C
Program 1 1 10 20
Program 2 1 0.1 0.02
Aritmetiskt medelvärde 1 5.05 10.01
Geometriskt medelvärde 1 1 0.632

och att därefter normalisera B:s resultat ger B som den snabbaste datorn enligt det aritmetiska medelvärdet:

  Dator A Dator B Dator C
Program 1 0.1 1 2
Program 2 10 1 0.2
Aritmetiskt medelvärde 5.05 1 1.1
Geometriskt medelvärde 1 1 0.632

Det geometriska medelvärdets rangordningar förblir desamma som den rangordning som erhålls med icke normaliserade värden.