Grassmannmångfald

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i \R^n.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt 0 < m < n\, vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden

G(n,m) := \{V \subset \R^n : V \ \mbox{är ett linjärt delrum, } \dim(V)=m\},

dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i \R^n.

Mångfald[redigera | redigera wikitext]

Grassmannmångfald är en mångfald med topologin från metriken d : G(n,m) \times G(n,m) \rightarrow \R,

d(V,W) := \|P_V - P_W\|,

där

  • V,W \in G(n,m)\,,

Måttstruktur[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Grassmannmått

Definiera en funktion från ortogonalgruppen O(n)\, till G(n,m)\, på följande sätt:

\Xi_V : O(n) \rightarrow G(n,m)\,, så att \Xi_V(g) = gV.\,

Grassmannmåttet \gamma_{n,m}\, ett bildmått:

\gamma_{n,m} := \Xi_{V\#} \theta_n, \,

dvs för A \subset G(m,n)\,

\gamma_{n,m} (A) = \theta_n (\{g \in O(n) : gV \in A\}).

Här är \theta_n\, det vridningsinvariant måttet i O(n)\,.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.