Grassmannmångfald

En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i $\R^n$.

Formell definition

Låt $0 < m < n\,$ vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden

$G(n,m) := \{V \subset \R^n : V \ \mbox{är ett linjärt delrum, } \dim(V)=m\}$,

dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i $\R^n$.

Mångfald

Grassmannmångfald är en mångfald med topologin från metriken $d : G(n,m) \times G(n,m) \rightarrow \R$,

$d(V,W) := \|P_V - P_W\|$,

där

• $V,W \in G(n,m)\,$,

• $P_V\,$ och $P_W\,$ är ortogonal projektioner på V och W och

• $\|\cdot\|$ är operatornormen för linjär avbildninger.

Måttstruktur

Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)\,$ till $G(n,m)\,$ på följande sätt:

$\Xi_V : O(n) \rightarrow G(n,m)\,$, så att $\Xi_V(g) = gV.\,$

Grassmannmåttet $\gamma_{n,m}\,$ ett bildmått:

$\gamma_{n,m} := \Xi_{V\#} \theta_n, \,$

dvs för $A \subset G(m,n)\,$

$\gamma_{n,m} (A) = \theta_n (\{g \in O(n) : gV \in A\}).$

Här är $\theta_n\,$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)\,$.

Se även

• Differentialgeometri
• Mångfald
• Måtteori

Referenser

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.