Hölderkontinuitet

Inom matematik sägs en funktion f på $\mathbb{R}^d$ vara Hölderkontinuerlig eller uppfylla ett Höldervillkor om det finns konstanter C och $\alpha$ så att

$\forall x,y \in \mathbb{R}^d, ~~ |f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^\alpha.$

Detta kan generaliseras till funktioner mellan metriska rum; om g är en funktion från metriska rummet $(X,d_X)$ till $(Y, d_Y)$ så är g Hölderkontinuerlig om det finns konstanter C och $\alpha$ så att:

$\forall x,y \in X, ~~ d_Y(f(x),f(y)) \leq C(d_X(x,y))^\alpha.$

Speciellt, om $\alpha = 1$ är funktionen Lipschitzkontinuerlig och om $\alpha = 0$ är funktionen en begränsad funktion.

Inom funktionalanalys studeras Hölderrum i syfte att lösa partiella differentialekvationer. Hölderrummet $C^{n, \alpha}(\Omega)$, där $\Omega$ är en öppen delmängd till något euklidiskt rum och n något naturligt tal, består av funktioner som har derivator upp till ordning n så att n:te ordningens partiella derivatorer är Hölderkontinuerliga med exponent $\alpha$, där $0 < \alpha \leq 1$.