Hölders olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Hölders olikhet är en olikhet för integraler och serier inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys, och kan ses som en generalisering av Cauchy–Schwarz olikhet. Olikheten är ett viktigt resultat i studiet av Lp-rum, där den används för att visa Minkowskis olikhet (vilket är triangelolikheten för Lp-rum och är nödvändig för att visa att rummen är normerade rum), samt ett antal andra uppskattningar.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt (S,Σ,μ) vara ett måttrum och låt  1 \leq p, q < \infty med  \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 . För mätbara funktioner, reell- eller komplexvärda, definieras Lp-normen som

 \| \ . \ \|_p : f \mapsto \biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}

Hölders olikhet ges nu av följande påstående:

  \|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Detta kan också skrivas på integralform som

  \int_S |f(x) g(x)| d\mu    \leq   \biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p} \biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.

Eftersom en oändlig summa även kan ses som en integral (om man låter man  S = \mathbb{N} och μ vara räknemåttet) så kan Hölders olikhet även formuleras för reella och komplexa talföljder (element i  \mathbb{R}^{\mathbb N} eller \mathbb{C}^{\mathbb N} ). Då fås följande olikhet:

     \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\!1/q} \forall \, \, (x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ eller }\mathbb{C}^{\mathbb N}.

Kommentarer[redigera | redigera wikitext]

I definitionen ovan betyder  \frac{1}{\infty} noll. För  p = \infty definieras uttrycket  \| \ . \ \|_p som

 \|f\|_{\infty} = \inf \{M : \mu\{x \in S: f(x) > M\} = 0\}

det vill säga infimum av  \sup_{x \in S} |g(x)| , där g tillhör mängden av funktioner som är lika med f nästan överallt.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.