Haarmått

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i $\R^n$.

Translation-invariant mått

Låt $(G,\circ)$ vara en grupp.

Om $A \subset G$ och $g \in G$ kallas mängden

$gA = g \circ A := \{g \circ a : a \in A\}$

för vänstertranslationen för A och mängden

$Ag = A \circ g := \{a \circ g : a \in A\}$

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra $\mathcal{F} \,$ i $G\,$ är vänstertranslationsinvariant om

för alla $A \in \mathcal{F}$ och $g \in G\,$ är $gA \in \mathcal{F}$,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om $\mathcal{F} \,$ är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet $\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]$ vänstertranslationsinvariant om

för alla $A \in \mathcal{F}$ och $g \in G\,$ är $\mu (gA) = \mu (A)\,$ ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Haarmått

Låt $(G,\circ)$ vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

• paret $(G,\circ)$ är en grupp,
• rummet $G\,$ är ett lokalt kompakt topologiskt rum
• avbildningen $G \times G \to G:(g,h)\mapsto g\circ h$ är kontinuerlig (i produkttopologin) och
• avbildningen $G \to G: g \mapsto g^{-1}$ är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna $\mbox{Bor} \, G$ en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

$\mu_v : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]$

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

$\mu_h : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]$

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet $\mu \,$ i $G \,$ är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns $c \geq 0$ så att $\mu = c\mu_v\,$, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper $G \,$ där $\mu_v \neq \mu_h\,$, men om

$\mu_v = \mu_h\,$

i $G \,$ kallar vi måttet

$\mathfrak{h}_G := \mu_v = \mu_h$

för Haarmåttet.

Egenskaper

• Om gruppen $G \,$ är en abelsk grupp så är $\mu_v = \mu_h\,$.

Exempel

• Rummet $(\R^n,+)$ är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs

för alla $A \in \mbox{Bor} \, \R^n$ och $x \in \R^n\,$ gäller att $\mathcal{L}^n (x+A) = \mathcal{L}^n (A) = \mathcal{L}^n (A + x)\,$.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i $\R^n$:

$\mathfrak{h}_{\R^n} = \mathcal{L}^n$.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i $\R^n$.

• Andra viktiga exempel för Haarmåttet är vridningsinvariant mått i ortogonalgruppen, dvs

$\mathfrak{h}_{O(n)} = \theta_n$.

Referenser

• Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.