Hahn-Banachs sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom funktionalanalys, en gren av matematiken, är Hahn-Banachs sats ett ofta använt resultat. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach och Hans Hahn.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt f vara en linjär funktional vars definitionsmängd är ett underrum M till ett komplext vektorrum X och låt p vara en semi-norm vars definitionsmängd är vektorrummet X. Om funktionalen är begränsad av semi-normen på underrummet,
\vert f(x)\vert \leq p(x), \quad x \in M
så kan funktionalen utvidgas till en linjär funktional, F, vars definitionsmängd är X, och som är begränsad av semi-normen:
\vert F(x)\vert \leq p(x), \quad x \in X \quad och \quad F(x) = f(x), \quad x \in M.

Beviset av Hahn-Banachs sats är icke-konstruktivt, då det utnyttjar Zorns lemma. Det går emellertid att undvika Zorns lemma för vissa typer av vektorrum, exempelvis då det är ett så kallat Hilbertrum; det är Riesz representationssats som åstadkommer detta. Enligt denna är varje begränsad linjär funktional på ett Hilbertrum detsamma som en inre produkt med avseende på ett till funktionalen associerat element i Hilbertrummet.

Se även[redigera | redigera wikitext]