Harmonisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt f : RnR, och låt U vara en öppen delmängd av Rn. f är harmoniskU om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och

 \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2f}{\partial x_i^2} = 0

i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta  \nabla^2f = 0 eller \ \Delta f = 0.

Koppling till analytiska funktioner[redigera | redigera wikitext]

Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.

Sats 1.

Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.

Bevis.

Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att

 \frac {\partial}{\partial y} \frac {\partial u}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} \frac {\partial u}{\partial y}

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi

 \frac {\partial}{\partial y} \frac {\partial u}{\partial x} = \frac {\partial}{\partial x} \frac {\partial u}{\partial y} \Leftrightarrow \frac {\partial^2v}{\partial y^2} = - \frac {\partial^2v}{\partial x^2}

vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på harmoniska funktioner:

 \ f(x_1, x_2) = \ln(x_1^2 + x_2^2)

 \ u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Medelvärdesegenskapen[redigera | redigera wikitext]

Låt f: UR vara kontinuerlig på en öppen mängd U  \subseteq C. Antag att det för varje  z_0 i U gäller att

 \left\{z; \left|z-z_0 \right| \le \epsilon_{z_0} \right\} \subseteq U

för något  \epsilon_{z_0} > 0. Om det gäller att

 f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + \epsilon e^{it})\, dt

för varje  0 < \epsilon < \epsilon_{z_0} så är f harmonisk.

Maximum och minimum[redigera | redigera wikitext]

Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.

Liouvilles sats[redigera | redigera wikitext]

Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på Rn är f konstant.

Kommentarer[redigera | redigera wikitext]

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • E.B. Saff, A.D. Snider. Fundamentals of complex analysis. Third edition.
  • A. Persson, L-C Böiers. Analys i flera variabler.
  • Weisstein, Eric W. "Mean-Value Property." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueProperty.html
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.