Harmoniskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Harmoniskt medelvärde är ett av de tre Pythagoreiska medelvärdena och används främst för att beskriva tillväxtfenomen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Diskret fördelning[redigera | redigera wikitext]

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x1, x2, ..., xn är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x1, x2, ..., xn:

H = \left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{ i = 1 }^n x_i^{-1} \right)^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{n} \cdot \left(\frac{ 1 }{ x_1 } + \frac{ 1 }{ x_2 } + \cdots + \frac{ 1 }{ x_n }\right)} = \frac{ n }{ \frac{ 1 }{ x_1 } + \frac{ 1 }{ x_2 } + \cdots + \frac{ 1 }{ x_n } }.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

 \frac{ 3 }{ \frac{ 1 }{ 1 } + \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } }  = \frac{ 1 } { \frac{ 1 }{ 3 }( \frac{ 1 }{ 1 } + \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } ) } = \frac{ 12 }{ 7 } = 1.\overline{714285}

Kontinuerlig fördelning[redigera | redigera wikitext]

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

 H = \cfrac{ 1 }{ \int \cfrac{ 1 }{ x } f( x ) \,dx }

Viktat harmoniskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Om en mängd av vikter w_1, \dotsc, w_n är associerad med en datamängd x_1, \dotsc, x_n, definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

 \cfrac{ \sum_{ i = 1 }^n w_i }{ \sum_{ i = 1 }^n \cfrac{ w_i }{ x_i} }

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Antag att en person färdas sträckorna s1,..., sn med hastigheterna v1,..., vn. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

v = \sum_{i=1}^n{s_i} \left[ \sum_{i=1}^n{s_i v_i^{-1}} \right]^{-1}

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

v={2 \over {{1 \over 60}+{1 \over 120}}}= 80

Jämförelse med andra medelvärden[redigera | redigera wikitext]

Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet
Q: Kvadratiska medelvärdet
H: Harmoniska medelvärdet
G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

\bar{a}_Q \ge \bar{a}_A \ge \bar{a}_G \ge \bar{a}_H

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.