Harmoniskt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zeta-funktion och andra speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal[redigera | redigera wikitext]

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n}.

Summan av de n första harmoniska talen ges av

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n.

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

 H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right].

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

En integralrepresentation av Euler är

 H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :

\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\
&=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\
&= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\
&= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk .
\end{align}

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta x_1=1,\ldots,x_n=n och använda \Pi_k(1,\ldots,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!:

H_n=H_{n,1}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2\Pi_k(1,\ldots,n)}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk.
Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen.

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att

\int_1^n {1 \over x}\, dx

vars värde är ln(n).

Värdena av följden Hn - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet

 \lim_{n \to \infty} \left(H_n - \ln n\right) = \gamma,

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,

där B_k är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie[redigera | redigera wikitext]

Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

\begin{align}
1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots\, + \,\frac{1}{n} 
&= \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n-r}
= \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{n}{n-r}
= \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sum_{m=0}^\infty \frac{r^m}{n^m}\\
&= \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left( 1+ \sum_{m=1}^\infty \frac{r^m}{n^m} \right) \\
&= 1 + \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sum_{m=1}^\infty \frac{r^m}{n^m} \\
&= 1 + \left( \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{n^{m+1}} \left( \sum_{r=1}^{n-1}r^m \right) \right)\\
&= 1 + \frac{1 + 2 + \cdots + n-1}{n^2} + \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2}{n^3} + \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3}{n^4} + \cdots
\end{align}

Förekomst[redigera | redigera wikitext]

Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:

 \psi(n) = H_{n-1} - \gamma.

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

 \gamma = \lim_{n \to \infty}{\left(H_n - \ln\left(n+{1 \over 2}\right)\right)}

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent till att

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n},

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

 \lambda \phi(x) = \int_{-1}^{1} \frac{\phi(x)-\phi(y)}{|x-y|} dy

ges av \lambda = 2H_n där H_0 = 0.

Genererande funktioner[redigera | redigera wikitext]

Harmoniska talens genererande funktion är

\sum_{n=1}^\infty z^n H_n =  \frac {-\ln(1-z)}{1-z},

En exponentiell genererande funktion ges av

\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = -e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \frac {(-z)^k}{k!} =  e^z \mbox {Ein}(z)

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

\mbox {Ein}(z) = \mbox{E}_1(z) + \gamma + \ln z =  \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z\,

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Hyperharmoniska tal[redigera | redigera wikitext]

J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

 H_n^{(0)} = \frac1n.

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)

 H_n^{(r)} = \sum_{k=1}^n H_k^{(r-1)}.

Speciellt är H_n=H_n^{(1)}.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Harmonic number, 19 december 2013.

Se även[redigera | redigera wikitext]