Heine-Borels sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella  \mathbb{R}^n -rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd  S \subset \mathbb{R}^n är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Bevis av den första formuleringen;  S \subset \mathbb{R}^n kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet[redigera | redigera wikitext]

Låt  y \in S^c (komplementet till S). För alla  x \in S existerar disjunkta omgivningar  B_x som innehåller x och  B_y^x som innehåller y. Det följer att alla  B_x -mängder bildar en öppen övertäckning av S, S \subset \bigcup_{x \in S} B_x. S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder  B_{x_1}, ..., B_{x_n} , så att  G = \bigcap_{k=1}^n B_y^{x_k} är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning[redigera | redigera wikitext]

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad  \sup_{x,y \in S} d(x,y) < \infty där d är metrikenS. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad  B_1(x) för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning  B_1(x_1), ..., B_1(x_N) som täcker S. Antag att  x,y \in S och  x \in B_1(x_i) och  y \in B_1(x_j), som

d(x,y) \leq d(x,x_i) + d(x_i, x_j) + d(x_j, y) < 2 + \max_{1 \leq m,n \leq N} d(x_m, x_n)

x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begräsning ger kompakthet[redigera | redigera wikitext]

Om en mängd  S \in \mathbb{R}^n är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

 S \subseteq [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times ... \times [a_n, b_n]

med  a_k < b_k och  a_k, b_k \in \mathbb{R} ~~ \forall k. Kalla denna n-låda för  T_0 . Man kan nu dela upp  T_0 i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då  2^n dellådor.

Antag att  T_0 inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av  T_0 måste finnas minst en dellåda till  T_0 som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda  T_1 . Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp  T_1 i  2^n dellådor och plocka ut  T_2 , osv. Man får då en följd av T-mängder

 T_0 \supset T_1 \supset ... \supset T_k \supset ...

vars längd, projicerat på  x_j -axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

\lim_{n \to \infty} \frac{b_j-a_j}{2^n} = 0.

Då ger Cantors inkapslingssats:  \bigcap_{k=1}^\infty T_k \neq \emptyset., dvs det finns en punkt  p \in T_0 . Eftersom C täcker S finns en mängd  A \in S så att  p \in A . Då A är öppen finns ett n-klot  B(p) \subseteq A , så att för tillräckligt stora k gäller  T_k \subseteq B(p) \subseteq A , så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka  T_k kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är  T_0 kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt[redigera | redigera wikitext]

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i  \mathbb{R}^n . Låt  C_S vara en öppen övertäckning av S. Om  C_S också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av  C_S som täcker T, anta därför att  C_S inte täcker T.

 S^c = \mathbb{R}^n \setminus S är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av  C_S . Låt  C_T = C_S \cup \{S^c\} vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har  C_T' en ändlig delövertäckning. Då  S^c innehåller punkter i T som inte täcks av  C_S måste  S^c \in C_T' , så att  C_T' = C_S' \cup \{S^c\} , där  C_S' måste vara en ändlig delövertäckning av  C_S eftersom  S^c inte täcker  S  C_S' \neq \emptyset.