Heine-Borels sats

Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella $\mathbb{R}^n$-rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd $S \subset \mathbb{R}^n$ är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis

Bevis av den första formuleringen; $S \subset \mathbb{R}^n$ kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet

Låt $y \in S^c$ (komplementet till S). För alla $x \in S$ existerar disjunkta omgivningar $B_x$ som innehåller x och $B_y^x$ som innehåller y. Det följer att alla $B_x$-mängder bildar en öppen övertäckning av S, $S \subset \bigcup_{x \in S} B_x$. S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder $B_{x_1}, ..., B_{x_n}$, så att $G = \bigcap_{k=1}^n B_y^{x_k}$ är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad $\sup_{x,y \in S} d(x,y) < \infty$ där d är metriken på S. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad $B_1(x)$ för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning $B_1(x_1), ..., B_1(x_N)$ som täcker S. Antag att $x,y \in S$ och $x \in B_1(x_i)$ och $y \in B_1(x_j)$, som

$d(x,y) \leq d(x,x_i) + d(x_i, x_j) + d(x_j, y) < 2 + \max_{1 \leq m,n \leq N} d(x_m, x_n)$

då x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begräsning ger kompakthet

Om en mängd $S \in \mathbb{R}^n$ är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

$S \subseteq [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times ... \times [a_n, b_n]$

med $a_k < b_k$ och $a_k, b_k \in \mathbb{R} ~~ \forall k$. Kalla denna n-låda för $T_0$. Man kan nu dela upp $T_0$ i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då $2^n$ dellådor.

Antag att $T_0$ inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av $T_0$ måste finnas minst en dellåda till $T_0$ som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda $T_1$. Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp $T_1$ i $2^n$ dellådor och plocka ut $T_2$, osv. Man får då en följd av T-mängder

$T_0 \supset T_1 \supset ... \supset T_k \supset ...$

vars längd, projicerat på $x_j$-axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_j-a_j}{2^n} = 0.$

Då ger Cantors inkapslingssats: $\bigcap_{k=1}^\infty T_k \neq \emptyset.$, dvs det finns en punkt $p \in T_0$. Eftersom C täcker S finns en mängd $A \in S$ så att $p \in A$. Då A är öppen finns ett n-klot $B(p) \subseteq A$, så att för tillräckligt stora k gäller $T_k \subseteq B(p) \subseteq A$, så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka $T_k$ kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är $T_0$ kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i $\mathbb{R}^n$. Låt $C_S$ vara en öppen övertäckning av S. Om $C_S$ också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av $C_S$ som täcker T, anta därför att $C_S$ inte täcker T.

$S^c = \mathbb{R}^n \setminus S$ är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av $C_S$. Låt $C_T = C_S \cup \{S^c\}$ vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har $C_T'$ en ändlig delövertäckning. Då $S^c$ innehåller punkter i T som inte täcks av $C_S$ måste $S^c \in C_T'$, så att $C_T' = C_S' \cup \{S^c\}$, där $C_S'$ måste vara en ändlig delövertäckning av $C_S$ eftersom $S^c$ inte täcker $S$ så $C_S' \neq \emptyset$.