Heine-Cantors sats

Heine-Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum så är varje kontinuerlig funktion $f:M \to N$, där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.

Bevis

Låt $f:M \to N$ vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p. Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta>0: d(x,y) < \delta \Rightarrow p(f(x), f(y)) < \varepsilon ~~ \forall x,y \in M$

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

$\exists \varepsilon_0: \forall \delta > 0 \exists x,y \in M: d(x,y) < \delta ~ \mathrm{och} ~ p(f(x), f(y)) \geq \varepsilon_0.$

Välj två följder, $x_n$ och $y_n$ så att:

$d(x_n, y_n) = \frac{1}{n}$ och $p(f(x_n), f(y_n)) \geq \varepsilon_0.$

Då M är kompakt existerar det (Bolzano-Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

$x_{n_k} \to x_0 \in M ~ \mathrm{och} ~ y_{n_k} \to y_0 \in M$

så det följer att:

$d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow p(f(x_{n_k}), f(y_{n_k})) \geq \varepsilon_0$

den första delen ger att $x_0 = y_0$ och den andra säger att $f(x_0) \neq f(y_0)$, vilket uppenbarligen är en motsägelse.