Heine-Cantors sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Heine-Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion  f:M \to N , där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt  f:M \to N vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p. Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

 \forall \varepsilon > 0 \exists \delta>0: d(x,y) < \delta \Rightarrow p(f(x), f(y)) < \varepsilon ~~ \forall x,y \in M

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

\exists \varepsilon_0: \forall \delta > 0 \exists x,y \in M: d(x,y) < \delta ~ \mathrm{och} ~ p(f(x), f(y)) \geq \varepsilon_0.

Välj två följder,  x_n och  y_n så att:

 d(x_n, y_n) = \frac{1}{n} och  p(f(x_n), f(y_n)) \geq \varepsilon_0.

M är kompakt existerar det (Bolzano-Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

 x_{n_k} \to x_0 \in M ~ \mathrm{och} ~ y_{n_k} \to y_0 \in M

så det följer att:

d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow p(f(x_{n_k}), f(y_{n_k})) \geq \varepsilon_0

den första delen ger att  x_0 = y_0 och den andra säger att  f(x_0) \neq f(y_0) , vilket uppenbarligen är en motsägelse.