Gränspunkt

För gränspunkter av fastigheter, se gränspunkt (fastighet).

En gränspunkt eller hopningspunkt till en mängd eller följd är inom topologi en sorts punkt som kan "approximeras" av punkter i mängden eller följden.

Det finns många olika sorters distinktioner av begreppet gränspunkt. Låt $(X,\mathcal{T})$ vara ett icke-tomt topologiskt rum.

En punkt $p \in X$ är en gränspunkt till en mängd $A \subseteq X$ om varje öppen mängd $M_p \in \mathcal{T}$ som innehåller punkten, också har minst en punkt, $x \neq p$, gemensam med mängden $A$.

En gränspunkt $p \in X$ till en mängd $A$ är en omega-ackumuleringspunkt till mängden $A$ om varje öppen mängd $M_p \in \mathcal{T}$ som innehåller punkten $p$, också har ett uppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden $A$.

En gränspunkt $p \in X$ till en mängd $A$ är en kondensationspunkt till mängden $A$ om varje öppen mängd $M_p \in \mathcal{T}$ som innehåller punkten $p$, också har ett överuppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden $A$.

En punkt $x \in X$ är en gränspunkt till en följd $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ av termer $x_n \in X$ om varje öppen mängd $O_x \in \mathcal{T}$ som innehåller punkten $x$, också innehåller nästan alla termer i följden, med undantag av ändligt många.

En punkt $x \in X$ är en ackumuleringspunkt till en följd $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ av termer $x_n \in X$ om varje öppen mängd $O_x \in \mathcal{T}$ som innehåller punkten $x$, också innehåller ett uppräkneligt oändligt antal termer ur följden.