Householdertransformation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ett hyperplan  \pi kan definieras med dess normerade normalvektor,  v (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen  Q av:

 Q = I - 2vv^* \,

Där  I är enhetsmatrisen och  v^* är det hermiteska konjugatet av  v .  Q reflekterar en punkt  x i  \pi , ty:

 Qx = x - 2vv^*x = x - 2 \langle v, x \rangle v

Där  \langle \cdot, \cdot \rangle är skalärprodukten. Detta på grund av att  |\langle v, x \rangle| ger avståndet mellan  x och  \pi .

 Q har ett antal bra egenskaper:

Vilket stämmer bra då reflektionen av  x:s reflektion måste vara  x .

Användning[redigera | redigera wikitext]

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.