Hyperbolisk geometri

Linjer genom en viss given punkt P och linjerna är asymptomiska R.

En triangel är formad till en sadel liknande form (en hyperbolisk parabloid), även med två ultraparallella linjer.

I matematiska termer är hyperbolisk geometri en viss typ av icke-euklidisk geometri. Termen ”hyperbolisk geometri” introducerades av Felix Klein år 1871.

Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter.

Det femte axiomet i euklidisk geometri är parallellaxiomet och detta axiom är mycket omtalat i och med det inte är lika enkelt att formulera samt att innebörden inte är lika självklar. Euklides försökte bevisa parallellaxiomet ur de fyra första axiomen utan resultat.

De fyra första postulaten i Euklides elementa är:

1. En rät linje ska kunna dras från en punkt till en annan.
2. En rät linje som är begränsad ska kunna förlängas obegränsat.
3. En cirkel ska kunna beskrivas kring varje på varje punkt som har en given radie.
4. Alla räta vinklar är lika med varandra

Historia

Ett antal geometriker har försökt bevisa detta postulat utan framgång, men deras försök ledde fram till att ”hyperbolisk geometri” föddes. Under 1700-talet beräknades arean av en hyperbolisk triangel samt hyperboliska funktioner av Johann Heinrich Lambert. Senare under 1800-talet började János Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky studera hyperbolisk geometri mycket noggrant.

Sats

Det finns oändligt många hyperboliska linjer som är parallella med L och innehåller q där L är en hyperbolisk linje och q är en punkt som inte tillhör L.

Bevis

Den reella axeln skärs vinkelrätt av linjen L och har Re(p)= a > 0 för alla p som tillhör L. Vi låter q tillhöra H ha Re(q) = b och dessutom antar vi att b > a. För alla t som tillhör [a,b] så finns det en hyperbolisk linje M som är unik, samt passerar genom t och q. M är en rät linje som är vinkelrät mot R om t=b. För alla andra t som tillhör mängden [a,b] så är den hyperboliska linjen M en cirkelbåge med centrum på den reella linjen.

Man kan se att L och M inte har några gemensamma punkter i och med att vi bestämt att t ska vara skilt från a.

Flera parallella linjer.

Varje linje genom p som skär ekvatorn.

Trianglar

Avstånd i hyperboliska plan kan mätas till en längdenhet med formeln $R = \frac{1}{\sqrt{-K}}$

Genom att använda denna längdenenhet i hyperbolisk geometri vilket är analogt med Pythagoras sats. om a,b är kateter och c hypotenusa och alla mäts i denna enhet så är

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

Till skillnad från euklidiska trianglar som alltid är 180 grader eller $\pi$ radianer så är alltid vinkeln hos en hyperbolisk triangel alltid mindre än 180 grader. Som konsekvens av detta så har hyperboliska trianglar alltid mindre area än $\pi{R^2}$.

Källor

• Lars-Åke Lindahl. ”En inledning till GEOMETRI”. http://www.math.uu.se/~lal/kompendier/Geometribok.pdf. Läst 14 Maj 2011. 
• ”Hyperbolic geometry”. http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Läst 14 Maj 2011. 
• Prof.Dr.R. Baldus,Prof.Dr.F.Löbell, Nichteuklidische Geometrie - Hyperbolische Geometrie der Ebene, Walter de Gruyter & CO 1964