Hypergeometriska funktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}.

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen

(x)_n = \begin{cases}   1   & n = 0 \\
  x(x+1) \cdots (x+n-1) & n > 0.
 \end{cases}

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

\begin{align}
\ln(1+z) &= z\, _2F_1(1,1;2;-z) \\
(1-z)^{-a}  &= \, _2F_1(a,1;1;z) \\
\arcsin(z) &= z \, _2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right).
\end{align}

Legendrepolynomen är också specialfall:

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z).

Meixner–Pollaczekpolynomen:

P_n^{(\lambda)}(x;\phi) = \frac{(2\lambda)_n}{n!}e^{in\phi}{}_2F_1(-n,\lambda+ix;2\lambda;1-e^{-2i\phi}).

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x).

Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):

 B_x(p,q) = \tfrac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)

Elliptiska integraler:

K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)
E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right).

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

 \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1 \left (\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z \right )}{{}_2F_1 \left (\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z \right )}

är

 z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

 e^x = \lim_{n \to \infty} F(1,n;1;{x \over n})
 \cos x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 a b}\right)
 \cosh x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 a b}\right)

Integralformler[redigera | redigera wikitext]

Om B är betafunktionen är

\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \qquad \real(c) > \real(b) > 0

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

Transformationer[redigera | redigera wikitext]

Eulers transformation är

{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} {}_2F_1 \left (b,c-a;c;\tfrac{z}{z-1} \right )
{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 \left (a, c-b;c ; \tfrac{z}{z-1} \right )

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

F(a,b;2b;z) = (1-z)^{-\frac{a}{2}} F \left (\tfrac{1}{2}a, b-\tfrac{1}{2}a; b+\tfrac{1}{2}; \frac{z^2}{4z-4} \right).

En kubisk transformation är

F \left (\tfrac{3}{2}a,\tfrac{1}{2}(3a-1);a+\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{3} \right) = (1+z)^{1-3a}F \left (a-\tfrac{1}{3}, a, 2a, 2z(3+z^2)(1+z)^{-3} \right ).

Värden vid speciella punkter[redigera | redigera wikitext]

Gauss sats är

{}_2F_1 (a,b;c;1)= \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}, \qquad   \Re(c)>\Re(a+b)

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

\begin{align}
_2F_1(a,b;1+a-b;z)&= (1-z)^{-a} \;_2F_1 \left(\frac a 2, \frac{1+a}2-b; 1+a-b; -\frac{4z}{(1-z)^2}\right)\\
&=(1+z)^{-a} \, _2F_1\left(\frac a 2, \frac{a+1}2; 1+a-b; \frac{4z}{(1+z)^2}\right)
\end{align}

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}.

Baileys sats är

_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

27\,(z-1)^2\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^8+18\,(z-1)\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^2=1

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

 _2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,\frac13\right)=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]4}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}}.

Gauss kedjebråk[redigera | redigera wikitext]

Gauss kedjebråk är

\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hypergeometric function, 16 november 2013.