Implikation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Implikation (lat. implicatio, 'sammanflätning') är en benämning på satser med formen "Om A, så B", som ibland kallas villkorssatser eller hypotetiska utsagor. En implikation uttrycker att något "följer" av något annat, där "följer" kan betyda flera olika saker:[1]

  • Inom satslogik innebär materiell implikation, med beteckningen A → B eller A ⊃ B, att sanningsvärdet hos A och B är relaterade på ett sådant sätt att eftersatsen B är sann närhelst försatsen A är sann. Satsen A → B är falsk om A är sann och B är falsk, och sann i övriga fall. Materiell implikation behöver inte betyda att det finns ett kausalt samband mellan A och B, utan uttrycker endast att om försatsen A är sann så är eftersatsen B också det. Ett exempel på en materiell implikation är "Om det snöar så är jag 17 år gammal".
  • Inom modallogik är strikt implikation ett sätt att uttrycka att ett visst kausalt eller formellt samband råder mellan A och B. Strikt implikation skrivs ibland "Det är nödvändigt att om A, så B", vilket innebär att det måste finnas en icke väldefinierad sambandsrelation mellan A och B för att satsen ska vara meningsfull. Satsen "Om det snöar så är jag 17 år gammal" uttrycker inte en strikt implikation i den här meningen, vilket däremot "Om det snöar så är det vinter" gör.
  • Tautolog implikation, logisk implikation eller logisk följd betyder att F → G är sann för alla värden på de i formlerna F och G ingående variablerna. Ett annat sätt att uttrycka det är att en sats G följer av en sats F om och endast om det är en tautologi att konjunktionen av F och G har samma sanningsvärde som endast F.[2]
  • Kontrafaktisk implikation betecknar satser av typen "om A vore - vilket A inte är - så vore B" eller "om A inte vore - vilket A är - så vore B".
AND ANSI.svg
Logisk operator (Logisk grind)

Se även:

Notation[redigera | redigera wikitext]

Inom logiken betecknas implikation med . För att inte förväxla denna pil med gränsvärdespilen använder man istället, inom matematiken, oftast den dubbelstreckade pilen . På motsvarande sätt används dubbelpilen för ekvivalens.

Negering av implikation[redigera | redigera wikitext]

I det naturliga språket finns ett flertal skilda betydelser av "om A så B": En av dessa är ett uttalande om B, givet att A är uppfyllt. En annan är ett uttalande om att det råder ett villkorsförhållande mellan A och B, det vill säga att det är sant att: "om A så B". Nedan följer ett försök till förklaring av skillnaden mellan dessas betydelser, genom att de två satserna på olika sätt negeras.

  1. "Det är inte så att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är så att: om Kalle kommer till festen så kommer inte Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida Lisa kommer eller inte, givet att Kalle kommer.
  2. "Det är inte sant att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är falskt att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida implikationen är sann eller inte.

Materiell implikation[redigera | redigera wikitext]

Materiell implikation betecknas vanligen med eller . Den definieras i satslogiken som en funktion av de ingående påståendenas sanningsvärden. Satsen p → q är falsk endast om p är sann och q är falsk. p → q kan skrivas som ¬p ∨ q (klausul) och har följande sanningstabell, där s står för sann och f för falsk.: :

p q p → q ¬p ∨ q
F F S S
F S S S
S F F F
S S S S

Att en sats materiellt implicerar en annan, betyder endast att det icke är så, att den första satsen är sann och den andra falsk.

Vissa egenskaper hos den materiella implikationen ger upphov till paradoxala resultat. Dessa sammanfattas under benämningen implikationsparadoxer.

Materiell implikation i Boolesk algebra[redigera | redigera wikitext]

I Boolesk algebra, där 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 1, 0´=1 och 1´= 0, uttrycks materiell implikation, p→q, som p´+ q.

p q p → q p´+ q
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1

Boolesk algebra är isomorf med satslogik.

Implikation i första ordningens logik[redigera | redigera wikitext]

I första ordningens logik (FOL) spelar implikationer en viktig roll, bl.a. vid formalisering av kvantifierade påståenden och syllogistiska slutledningar. Kvantifierade påståenden kan skrivas om och formaliseras till implikationer. Ex:

  • "Alla hästar har fyra ben." kan skrivas "För alla x gäller: om x är en häst så har x fyra ben." formaliserat ∀x(Hx → Bx), där betyder "alla".
  • "De flesta däggdjur är inte människor." kan skrivas "För de flesta x gäller: om x är ett däggdjur så är x inte en människa." formaliserat (most x)(Dx → ¬Mx). Eftersom "De flesta däggdjur är inte människor" inte betyder detsamma som "De flesta människor är inte däggdjur", så gäller inte kontraposition här, dvs (A → ¬B) = (B → ¬A), så materiell implikation kan ej användas för formalisering i detta fall.

Strikt implikation[redigera | redigera wikitext]

"Det är nödvändigt att om p så q" uttrycker en starkare implikation (mer specifik mening) än materiell och tillhör den modala logiken. Strikt implikation betecknas med (fishhook) och påståendet p ⥽ q eller med tillägget L (nödvändigt sann) till implikationen:

L(p → q) = (p ⥽ q)

Kausalitet[redigera | redigera wikitext]

Implikationer kan även uttrycka kausalitet – orsak och verkan. Denna tillämpning tillhör den temporala logiken och är starkare påståenden än materiell.

Tekniska lösningar[redigera | redigera wikitext]

I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etc kan funktioner som motsvarar implikationer realiseras.

Brytarnät[redigera | redigera wikitext]

Materiell implikation kan realiseras så här med hjälp av en strömbrytar koppling.

Grindnät[redigera | redigera wikitext]

Funktionen hos materiell implikation kan realiseras med en OR-grind med en inverterad ingång (H = hög nivå, L = låg nivå):

MI-grind.PNG
A B ~A ~A OR B Y
H H L H H
H L L L L
L H H H H
L L H H H

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • von Wright, Georg Henrik (1993). Logik, filosofi och språk: strömningar och gestalter i modern filosofi ([Ny utg.]). Nora: Nya Doxa. Libris 7769988. ISBN 91-88248-21-6 
  • Geoffrey Hunter, Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan London 1971.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Implikation i Nationalencyklopedins nätupplaga.
  2. ^ von Wright 1965, s. 96