Injektiv funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En injektiv funktion.
En injektiv funktion som även är surjektiv
En funktion, som inte är injektiv, men surjektiv

En injektiv funktion är en funktion f, från mängden X till mängden Y, som är omvändbar och sådan att f:s definitionsmängd Df = X och f:s värdemängd Vf  \subseteq Y, det vill säga, Vf är en delmängd av Y.

En alternativ definition av injektiv funktion, kan även uttryckas som: En funktion f är injektiv om, det för varje y i målmängden Y finns högst ett element x i definitionsmängden X, sådant att f(x) = y.

Härav följer att:

  • f är injektiv om f(a) = f(b) medför att a = b för varje a, b i X.
  • f är injektiv om a \neq b medför f(a\neq f(b), för varje a, b i X.

En injektiv funktion från mängden X till mängden Y, som är surjektiv, benämns bijektiv. Härav följer således att en bijektiv funktion är injektiv, men omvändningen gäller inte.

En injektiv funktion kallas även en injektion. På engelska används ibland även uttrycket one-to-one function. Denna terminologi bör dock undvikas, eftersom den kan leda till en förväxling med begreppet one-to-one correspondence, det vill säga en bijektiv funktion.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Funktionen f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,\,, f(x)=x^2 är inte injektiv då f(x)=f(-x) för alla x\in\mathbb{R}. Om man istället betraktar samma funktion för f:\mathbb{R_+}\rightarrow\mathbb{R_+}\, är f injektiv och surjektiv, och alltså bijektiv.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
  • C. Hyltén-Cavallius och L. Sandgren, Matematisk Analys, Håkan Ohlssons Boktryckeri, Lund 1958.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Anders Vretblad: Algebra och geometri. Andra upplagan. 2006.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.