Instängningssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva.
Svart kurva visar grafen till
x^2\sin\frac{1}{x}

Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innrbär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.

Satsen kan skrivas

Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

och att

\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L

Då måste \lim_{x \to a} f(x) = L

Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Funktion av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Olikheten
\sin x < x < \tan x
illustrerad på enhetscirkeln

Gränsvärdet

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att

\sin x < x < \tan x

Division med sin(x) ger

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x},
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x},
\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1

och instängningssatsen ger då

\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1

och således är

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Funktion av två variabler[redigera | redigera wikitext]

g(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y)

Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R2R blir funktionsvillkoren

g(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y)

för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar. [1]

\frac{x^2 y}{x^2+y^2}

Visa att gränsvärdet

\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}

existerar.

0 \leq \frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1,
-\left | y \right \vert \leq y \leq \left | y \right \vert,
-\left | y \right \vert \leq \frac{x^2 y}{x^2+y^2} \leq \left | y \right \vert,
\lim_{(x,y) \to (0, 0)} -\left | y \right \vert = 0,
\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \left |y \right \vert = 0,
0  \leq  \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}  \leq  0,

därför är, enligt instängningssatsen,

\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stewart, James (2008). ”Chapter 15.2 Limits and Continuity”. Multivariable Calculus (6th). Sid. 909–910. ISBN 0495011630.