Integritetsområde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett integritetsområde är inom ringteorin en kommutativ ring, som saknar nolldelare.[1][2] Enligt vissa författare fordras dessutom att ringen har en etta för att få benämnas integritetsområde. En ring, som uppfyller det senare villkoret, kallas även för en heltalsring.[3][4] Ett ändligt integritetsområde är en kropp.


Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Om (R,·,+) är en kommutativ ring med etta så är den ett integritetsområde om något av följande, ekvivalenta, villkor är uppfyll:

  • R saknar nolldelare.
  • De multiplikativa annulleringslagarna gäller: Om a ≠ 0 följer av ab=ac, att b=c.
  • Nollidealet {0} är ett primideal.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • De jämna heltalen 2Z = {...-2, 0, 2, 4,...} är, enligt den svagare definitionen ovan, ett integritetsområde.
  • Heltalen Z är, även enligt den starkare definitonen ovan, ett integritetsområde.
  • En kropp är ett integritetsområde.
  • En polynomring är ett integritetsområde om den är definierad över ett integritetsområde. Exempelvis är \Z[x], ringen av alla polynom i en variabel med heltalskoefficienter ett integritetsområde.
  • Om U är en sammanhängande öppen mängd i det komplexa talplanet så är ringen av alla analytiska funktioner f:U \to \C ett integritetsområde.

Motexempel[redigera | redigera wikitext]

  • För n \geq 2 är ringen av alla n×n-matriser inte ett integritetsområde.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Om R är ett integritetsområde, så finns (upp till isomorfi) en minsta kropp S som innehåller R som delring. Kroppen S kallas R:s fraktionskropp och består av element ab^{-1} där a,b \in R och b \neq 0. Exempelvis är fraktionskroppen till heltalen \Z de rationella talen \Q.
  • Ett integritetsområdes karakteristik kan endast vara 0 eller ett primtal.
  • Om R är en kommutativ ring med ett ideal P så är kvotringen R/P ett integritetsområde om och endast om P är ett primideal.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.
  2. ^ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag Berlin 1950.
  3. ^ Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
  4. ^ J.B. Fraleigh, A First Course in abstract Algebra, Addison-Wesley New York 1976.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1. D. van Nostrand, Princeton 1958.
  • N. Bourbaki, Élément de Mathématique, Algèbre, Masson Paris 1963.
  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4