Irreducibelt polynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring F[x] man studerar.

Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring F[x] skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande fem polynom illustrerar egenskaperna hos reducibla och irreducibla polynom.

p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)},
p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)},
p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}.

Över ringen  \mathbb{Z} av heltal är de två första reducibla och de två sista irreducibla. (Det mittersta är inte ett polynom över  \mathbb{Z} över huvud taget.)

Över kroppen av rationella tal,  \mathbb{Q} , är de tre första polynomen reducibla men de två sista irreducibla.

Över kroppen av reella tal,  \mathbb{R} , är alla utom p_5(x) reducibla.

Över kroppen av komplexa tal,  \mathbb{C} , är slutligen alla polynom reducibla.

Även i den ändliga kroppen \Z_2 är p_5 reducibelt, då det gäller att: p_5(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2.

Reella och komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Över de komplexa talen är förstagradspolynomen de enda irreducibla polynomen. Över de reella talen finns det också vissa andragradspolynom som är irreducibla, som p_{5}(x) i exemplet ovan, men inga av högre grad.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.