Irreducibelt polynom

Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring $F[x]$ man studerar.

Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring $F[x]$ skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter.

Exempel

Följande fem polynom illustrerar egenskaperna hos reducibla och irreducibla polynom.

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}$.

Över ringen $\mathbb {Z}$ av heltal är de två första reducibla och de två sista irreducibla. (Det mittersta är inte ett polynom över $\mathbb {Z}$ över huvud taget.)

Över kroppen av rationella tal, $\mathbb {Q}$, är de tre första polynomen reducibla men de två sista irreducibla.

Över kroppen av reella tal, $\mathbb {R}$, är alla utom $p_{5}(x)$ reducibla.

Över kroppen av komplexa tal, $\mathbb {C}$, är slutligen alla polynom reducibla.

Även i den ändliga kroppen $\mathbb {Z} _{2}$ är $p_{5}$ reducibelt, då det gäller att: $p_{5}(x)=x^{2}+1=(x+1)^{2}$.

Reella och komplexa tal

Över de komplexa talen är förstagradspolynomen de enda irreducibla polynomen. Över de reella talen finns det också vissa andragradspolynom som är irreducibla, som $p_{5}(x)$ i exemplet ovan, men inga av högre grad.

Se även

• Algebrans fundamentalsats
• Eisensteins kriterium
• Faktorsatsen