Jämna och udda funktioner

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
ƒ(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion.
Funktionen y = x4 - 4x ² + 3 är en summa av jämna termer, vilket gör den till en jämn funktion.
Grafen av y=x^3, en udda funktion.
Funktionen  y = x^3 + 1 är varken udda eller jämn.

Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x).

Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo.

Namnen motiveras bland annat av att funktionerna x^n för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Jämna funktioner:

Udda funktioner:

  • f(x) = x \,
  • f(x) = x^3 \,
  • f(x) = \sin x \,

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Den enda funktionen som är både jämna och udda är den konstanta funktionen f(x)=0.
  • Summan av en udda och en jämn funktion är varken udda eller jämn, såvida inte en av funktionerna är konstant noll.
  • Summan av två udda funktioner är udda, och varje multipel av en udda funktion är udda.
  • Summan av två jämna funktioner är jämna, och varje multipel av en jämn funktion är jämn.
  • Produkten av både två udda eller två jämna funktioner är en jämn funktion.
  • Produkten av en udda och en jämn funktion är en udda funktion.
  • Kvoten av både två udda eller två jämna funktioner är jämn.
  • Kvoten av en jämn och en udda funktion är udda.
  • En sammansatt funktion av två udda funktioner är udda. En sammansättning av två jämna funktioner är jämn.
  • En sammansatt funktion av en udda och en jämn funktion är jämn.
  • Derivatan av en jämn funktion är udda (förutsatt att funktionen är deriverbar).
  • Derivatan av en udda funktion är jämn (förutsatt att funktionen är deriverbar).
  • Integralen av en udda funktion från -a till a är noll, dvs om f är udda:
\int_{-a}^a f(x) dx = 0
  • Integralen av en jämn funktion från -a till a är två gånger integralen från noll till a, dvs om g är jämn:
\int_{-a}^a g(x) dx = 2 \int_0^a g(x) dx

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.