jω-metoden

jω-metoden, j-omega-metoden, används för att beräkna strömmar och spänningar i växelströmskretsar.

Genom att representera induktanser och kapacitanser med komplexa tal kan den relativt enkla likströmsteorin tillämpas på kretsar med växelspänningar och växelströmmar av konstant frekvens.

Översikt av metoden

Vid $\ j\omega$-metoden används symbolen $\ j$ för den imaginära enheten. Orsaken är att symbolen $\ i$ inom elektrotekniken ofta används för att beteckna strömmar. $\ j\omega$-metoden grundar sig i huvudsak på följande:

• Växelförloppen antas vara sinusformiga
• Växelförloppens frekvenser $\ \omega$ (radianer per sekund) antas vara konstanta, det vill säga tillståndet antas vara stationärt
• En induktans ger en fasvridning av +90 grader. För ett komplext tal motsvaras detta av en multiplikation med imaginära enheten. Den komplexa induktiva impedansen kan då skrivas som $\ j\omega L$
• En kapacitans ger en fasvridning av -90 grader. För ett komplext tal motsvaras detta av en division med imaginära enheten. Den komplexa kapacitiva impedansen kan därför skrivas ${1 \over j\omega C}$
• En resistans ger en fasvridning av 0 grader vilket motsvarar ett komplext tal med imaginärdelen lika med noll och kan skrivas som $\ R$

På grund av de komplexa talens egenskaper kan således ett komplext tal beskriva både belopp och fasvinkel för en impedans, ström eller spänning. Det går därmed att beräkna växelstorheter enligt reglerna för likströmsförlopp och samtidigt implicit behandla både belopp och fas.

Notation

Ofta används en särskild notation för de komplexa impedanserna, strömmarna och spänningarna:

$belopp\underline{/fasvinkel}$

Med den notationen kan till exempel Ohms lag skrivas

$Z = \frac{u}{i} = \frac{\hat u \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _1)}}{\hat i \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi_2)}} = \frac{\hat u \underline{/\varphi _1}}{\hat i \underline{/\varphi _2}}$

Vi ser av uttrycket för Z att om $\varphi_1 = \varphi_2$, det vill säga om $\ u$ och $\ i$ är i fas, att

$Z = \frac{\hat u \underline{/\varphi _1}}{\hat i \underline{/\varphi _2}} = \frac{\hat u}{\hat i} \underline{/\varphi _1 - \varphi _2} = \frac{\hat u}{\hat i} \underline{/0} = R$

Förfaringssätt

Steg 1

I stället för strömmen

$i=I\sqrt 2\sin(\omega t + \alpha)\,$

införs den komplexa strömmen

$\overline I = I e^{j\alpha} = I\underline{/\alpha}\,$

Steg 2

I stället för spänningen

$u=U\sqrt 2\sin(\omega t + \beta)$

införs den komplexa spänningen

$\overline U = U e^{j\beta} = U\underline{/\beta}$

Steg 3

Alla resistanser R, induktanser L och kapacitanser C ersätts med motsvarande komplexa impedanser

$R,\ j\omega L,\ \frac{1}{j\omega C}\,$

Steg 4

Man räknar formellt med växelstorheterna och med de komplexa impedanserna som om man hade ett likströmsproblem. En sökt växelstorhet erhålls som ett komplext tal vars absoluta belopp är storhetens effektivvärde och vars argument är storhetens fasvinkel.

Effekten i komplex framställning

Givet att

$u = U\sqrt 2 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _u)}$

$i = I\sqrt 2 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _i)}$

och med $\ i$ som riktfas, blir den skenbara effekten

$S = U I \underline{/\varphi _u - \varphi _i}$

vilket kan skrivas som

$S=P+jQ = U\cdot I\underline{/\arg\overline U - \arg\overline I}=\overline U\cdot\overline I^*\,$

det vill säga

$P = \operatorname{Re}(\overline U\cdot\overline I^*) = \operatorname{Re}(\overline U^*\cdot\overline I)$

$Q = \operatorname{Im}(\overline U\cdot\overline I^*) = - \operatorname{Im}(\overline U^*\cdot\overline I)$

där

$\overline U^*,\ \overline I^*$

är spänningens och strömmens komplexkonjugerade värden.

Tillämpningar

Seriekoppling

Visardiagram för tre seriekopplade impedanser med resistans, induktans och kapacitans. Visaren för R används som riktfas vilket betyder att fasen för den växelspänning/växelström som ligger över/genomlöper R är fasreferens/riktfas

För ögonblicksvärdena av en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans gäller

$u = Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i\, dt}$

Motsvarande ekvation i komplex form:

$\overline U = \left(R + j\omega L + {1 \over j\omega C}\right)\overline I=$

$=\left(R + j(\omega L - {1 \over \omega C})\right)\overline I$

Av visardiagrammet till höger framgår att den resulterande fasvridningen för de seriekopplade impedanserna är

$\theta = \arctan{\omega L - {1 \over \omega C}\over R}$

vilket är samma värde som argumentet för den komplexa impedansen.

Två parallellkopplade spolar

Två parallellkopplade spolar är anslutna till spänningen

$u=A\sqrt 2\sin(\omega t+\beta)$

Bestäm den totala tillförda strömmen

$i=I\sqrt 2\sin(\omega t+\alpha)$

Inför den komplexa spänningen och strömmen

$\overline U = U\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\beta)} = U\underline{/\beta}\,$

$\overline I = I\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\alpha)} = I\underline{/\alpha}$

Tillämpning av de vanliga likströmslagarna på kretsen till höger ger

$\overline I=\frac{\overline U}{R_1+j\omega L_1}+\frac{\overline U}{R_2+j\omega L_2}=\overline U\cdot\frac{R_1+R_2+j\omega(L_1+L_2)}{(R_1+j\omega L_1)(R_2+j\omega L_2)}$

vilket ger

$I=|\overline I|=U\cdot\frac{\sqrt{(R_1+R_2)^2+\omega ^2(L_1+L_2)^2}}{\sqrt{R_1^2+(\omega L_1)^2}\sqrt{R_2^2+(\omega L_2)^2}}$

och

$\alpha=\arg\overline{I} = \beta+\arctan\frac{\omega(L_1+L_2)}{R_1+R_2}-\arctan{\frac{\omega L_1}{R_1}}-\arctan{\frac{\omega L_2}{R_2}}$

En växelströmsbrygga

Högtalaren är tyst om

$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{Z_3}{Z_4};\quad Z_1, Z_2, Z_3, Z_4\quad \text{komplexa impedanser}$

Denna komplexa likhet motsvaras av två reella balansvillkor som båda måste vara uppfyllda

$\frac{|Z_1|}{|Z_2|}=\frac{|Z_3|}{|Z_4|};\quad \arg Z_1-\arg Z_2 = \arg Z_3-\arg Z_4\,$

eller

$\operatorname{Re}\left (\frac{Z_1}{Z_2}\right)=\operatorname{Re}\left (\frac{Z_3}{Z_4}\right);\quad \operatorname{Im}\left (\frac{Z_1}{Z_2}\right)= \operatorname{Im}\left (\frac{Z_3}{Z_4}\right)$

Historik

$\ j\omega$-metoden går tillbaka till Arthur Edwin Kennelly (1861-1939), som 1893 presenterade ett arbete om "Impedance" vid det amerikanska ingenjörsinstitutet American Institute of Electrical Engineers, AIEE.

Se även

• Komplexa tal
• Impedans
• Kapacitans
• Resistans