Jacobimatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Jacobimatris (också kallad jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med sin determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något informellt benämnas jacobian.

Jacobimatris[redigera | redigera wikitext]

Jacobimatrisen är en matris innehållande alla första ordningens partiella derivator för en vektorvärd funktion, och är av betydelse då den representerar den bästa linjäraapproximationen av en differentierbar funktion i en omgivning till en given punkt. Jacobimatrisen kan därmed ses som en motsvarighet till derivata för vektorvärda funktioner.

Låt \mathbb{F}: \R^n \mapsto \R^m vara en funktion från ett Euklidiskt rum av dimension n till ett Euklidiskt rum av dimension m. En sådan funktion ges av m reella funktioner, y_1(x_1,\dots,x_n), \dots,  y_m(x_1,\dots,x_n). Om de existerar kan de partiella derivatorna av dessa funktioner ordnas i en m\times n-matris, alltså \mathbb{F} Jacobimatris J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n), enligt:

J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n)=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Ett alternativt skrivsätt är \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}=J_\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)

Matrisens i:e rad ges alltså av gradienten till y_i.

Om p är en punkt i \R^n och \mathbb{F} är differentierbar i p, så ges dess derivata av J_\mathbb{F}(p). Här kommer den linjära transformation som beskrivs av J_\mathbb{F}(p) vara den bästa möjliga approximationen av \mathbb{F} i en omgivning till p, i meningen att

F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})

för x nära p.

Invers[redigera | redigera wikitext]

Om Jacobimatrisen är kvadratisk och inverterbar, kan dess invers antingen fås genom gausselimination, eller genom att inse att Jacobimatrisens transformerar vektorn bestående av differentialerna av x_1, x_2,...,x_n till vektorn bestående av differentialerna av y_1, y_2,...,y_n, nämligen

(\operatorname{d}y_1\ \operatorname{d}y_2\ ...\ \operatorname{d}y_n)^T = J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n)(\operatorname{d}x_1\ \operatorname{d}x_2\ ...\ \operatorname{d}x_n)^T

Genom att multiplicera båda sidor med inversen av Jacobimatrisen fås

(\operatorname{d}x_1\ \operatorname{d}x_2\ ...\ \operatorname{d}x_n)^T = (J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n))^{-1}(\operatorname{d}y_1\ \operatorname{d}y_2\ ...\ \operatorname{d}y_n)^T

Om \mathbb{F}^{-1}: \R^n \mapsto \R^n istället är en funktion från ett Euklidiskt rum av dimension n till ett annat Euklidiskt rum av dimension n, given av de n reella funktionerna x_1(y_1,\dots,y_n), \dots,  x_n(y_1,\dots,y_n), så kommer J_{\mathbb{F}^{-1}}(x_1,\ldots,x_n) att vara den matris som transformerar vektorn bestående av differentialerna av y_1, y_2,...,y_n till vektorn bestående av differentialerna av x_1, x_2,...,x_n, nämligen

(\operatorname{d}x_1\ \operatorname{d}x_2\ ...\ \operatorname{d}x_n)^T = J_{\mathbb{F}^{-1}}(y_1,\ldots,y_n)(\operatorname{d}y_1\ \operatorname{d}y_2\ ...\ \operatorname{d}y_n)^T

Genom identifiering mellan de två senaste ekvationerna fås att

(J_\mathbb{F}(x_1,\ldots,x_n))^{-1} = J_{\mathbb{F}^{-1}}(y_1,\ldots,y_n).

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande funktion betecknar ett variabelbyte från sfäriska koordinater till kartesiska koordinater:

\mathbb{F}: \R^+ \times [0,2\pi)\times [0,\pi]\mapsto \R^3.

Mer explicit skrivs den

\mathbb{F}(r,\theta,\varphi)=(x(r,\theta,\varphi),y(r,\theta,\varphi), z(r,\theta,\varphi))=(r \cos\varphi \sin\theta, r \sin\varphi \sin\theta, r \cos\theta).

Jacobimatrisen för detta variabelbyte är

J_\mathbb{F}(r,\varphi,\theta) =\begin{bmatrix} 
	\cos\varphi \sin\theta & -r \sin\varphi \sin\theta & r \cos\varphi \cos\theta \\
	\sin\varphi \sin\theta &  r \cos\varphi \sin\theta & r \sin\varphi \cos\theta \\ 
	\cos\theta          &  0                     & -r \sin\theta 
\end{bmatrix} .

Jacobimatrisen för funktionen \mathbb{F}: \R^3\mapsto \R^4 med komponenter

 y_1 = x_1 \,
 y_2 = 5x_3 \,
 y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
 y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

är

J_\mathbb{F}(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix} ,

vilket visar att jacobimatrisen inte behöver vara kvadratisk.

Jacobideterminanten[redigera | redigera wikitext]

Om m=n, det vill säga \mathbb{F} är en funktion från ett n-dimensionellt rum till ett annat n-dimensionellt rum, så är Jacobimatrisen kvadratisk, och därmed är dess determinant väldefinierad. Denna kallas jacobideterminanten, och dess värde i en punkt ger viktig information om funktionen i denna omgivning. Om \mathbb{F} är kontinuerligt differentierbar är den även inverterbar i närheten av p om Jacobideterminanten är nollskild i p. Om determinanten är positiv i p bevarar \mathbb{F} orientering, och om den är negativ skiftar \mathbb{F} orientering. Vidare ger absolutvärdet av Jacobideterminanten i p den faktor med vilken \mathbb{F} skalar om area/volym/hypervolym i närheten av p. Detta används i variabelsubstitution.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Jacobideterminanten för funktionen \mathbb{F}: \R^3 \mapsto \R^3

med komponenterna

 y_1 = 5x_2 \,
 y_2 = 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \,
 y_3 = x_2 x_3 \,

är

\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

Vi kan av detta dra slutsatsen att \mathbb{F} kastar om orienteringen i närheten av alla punkter där x_1 och x_2 har samma tecken, och att funktionen är lokalt inverterbar överallt utom i x_1=0 eller x_2=0. Ett litet objekt som befinner sig i närheten av (1,1,1) som mappas om av \mathbb{F} kommer öka sin volym cirka 40 gånger.

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Jacobideterminanten används när man gör variabelbyten när man integrerar en funktion för att kompensera för basbytet. Den kommer då dyka upp som en multiplikativ term under integraltecknet. Det är vanligtvis nödvändigt att variabelbytet är injektivt, vilket gör att Jacobideterminanten är väldefinierad.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande demonstrerar en användning av Jacobideterminanten vid beräkning av en integral. Antag att man vill beräkna volymen av enhetssfären x^2+y^2+z^2=1. Låt D:=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3: x^2+y^2+z^2 \leq 1\} . Volym av D ges då av uttrycket

\mathop{\rm volym}(D)=\iiint_D dx\,dy\,dz.

Görs ett variabelbyte till sfäriska koordinater enligt

\left\{\begin{align}x&=r\cos\varphi\sin\theta\\ y&=r \sin\varphi \sin\theta\\ z&=r\cos\theta\end{align}\right.

transformeras volymelementet dx dy dz till

dx\,dy\,dz=\left|\frac{d(x,y,z)}{d(r,\theta,\varphi)}\right|\,dr\,d\theta\,d\varphi=r^2 \sin\theta\ dr\,d\theta\,d\varphi

och området D beskrivs i de nya koordinaterna som

D' = \{(r,\theta,\varphi):0\leq r \leq 1,\ 0\leq \theta \leq \pi\ \text{och}\ 0 \leq \varphi < 2\pi \}.

Strikt sett är detta koordinatbyte inte injektivt i hela D, men om vi exkluderar linjen x = y = 0 får vi ett område med samma volym som D där koordinatbytet är injektivt och vi kan tillämpa koordinatbytet i volymintegralen. Volymintegralen blir därför

\begin{align}\mathop{\rm volym}(D) &= \iiint_{D'} r^2\sin\theta\ dr\,d\theta\,d\varphi\\ &= \int_0 ^{2\pi} d\varphi \int_0 ^\pi \sin\theta\,d\theta \int_0^1 r^2\,dr = 2\pi\cdot 2\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}\,\mathrm{.}\end{align}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.