Jordans lemma

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Halvcirkeln C i komplexa planet uppdelad i C1 och C2.

Jordans lemma är ett resultat inom komplex analys som ofta används vid beräkning av kurvintegraler.

Det finns flera olika varianter av Jordans lemma , men en av dessa kan användas för att visa flera andra: Om C1 är övre halvcirkeln med radien R, gäller att

\left|\int_{C_1} e^{iz} dz\right|<\pi

Med hjälp av detta kan man visa att om g(z)\, är en funktion sådan att g(re^{i\theta})\rightarrow 0\,r\rightarrow \infty\, för alla \theta\in [0,\pi] (exempelvis om g(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} där P och Q är två polynom sådana att grad Q > grad P) gäller att

\lim_{R \rightarrow \infty}\int_{C_R}{ g(z) e^{imz}} \, dz =0 \quad \forall m>0

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

En vanlig tillämpning av Jordans lemma är att bestämma integralen av en funktion f på hela \mathbb{R} , eftersom kurvintegralen kring C kan skrivas:

\int_C f(z)dz = \int_{C_1} f(z)dz + \int_{C_2} f(z)dz

där C2 är en del av den reella axeln. Om man nu låter radien på C gå mot oändligheten, kommer C2 gå mot hela \mathbb{R}. Om f är en funktion så att  f(re^{i\theta}) \to 0 ~~ r \to \infty, kommer första integralen, enligt ovan, gå mot noll så att:

\int_C f(z)dz = \int_{C_2} f(z)dz

och integralen i vänsterledet kan räknas ut med residysatsen, uttryckt som:

\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 2 \pi i \sum Res[f(x)]

där summan tas över alla residyer i övre komplexa halvplanet (den reella axeln exkluderad).

Källor[redigera | redigera wikitext]