Kardinalitetmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt X\, vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion \mu : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty], definierad som:

\mu (A) = \left\{ \begin{matrix}\mbox{card}(A), & \textrm{om } \ A \mbox{ är ändlig}  \\ +\infty, & \textrm{om } \ A \mbox{ är oändlig}, \end{matrix} \right.

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om A \subset X\, så är

\mu (A) = \sum_{x \in A} \delta_x (X).

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

\mu = \mathcal{H}^0 .

Serieteori[redigera | redigera wikitext]

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om X\, är uppräknelig, dvs

X = \{x_i : i \in \N \}\,,

så är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om f : X \rightarrow \R\, så är

\int_X \, f \,  d\mu = \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) .

Så att f är integrerbar om och endast om serien \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med Lp-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.