Kedjekomplex

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett kedjekomplex är konstruktioner som ursprungligen användes inom algebraisk topologi.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett kedjekomplex (A_\bullet, d_\bullet) är en serie av abelska grupper ... A2, A1, A0, A-1, A-2, ... så att det finns homomorfier dn : AnAn−1, så att kompositionen av två efterföljande sådana är noll: dndn+1 = 0 för alla n. Det här kan skrivas som:

\cdots \to 
A_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} A_n \xrightarrow{d_n} A_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} A_{n-2} \to
 \cdots  \xrightarrow{d_2} A_1 \xrightarrow{d_1}
A_0 \xrightarrow{d_0} A_{-1} \xrightarrow{d_{-1}} A_{-2} \xrightarrow{d_{-2}} 
\cdots.

Kedjefunktioner[redigera | redigera wikitext]

En kedjefunktion f mellan två komplex (A_\bullet, d_{A,\bullet}) och (B_\bullet, d_{B,\bullet}) är en serie f_\bullet av modulhomomorfier f_n : A_n \rightarrow B_n för varje n så att  d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

de Rhamkohomologi[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: de Rhamkohomologi

De differntiala k-formerna över en godtycklig differentierbar mångfald M bildar en abelsk grupp kallad Ωk(M) under addition. Yttre derivatan dk transformerar Ωk(M) till Ωk+1(M), och d 2 = 0 följer från symmetrin av andraderivatan, så vektorrummet av k-former med yttre derivatan bildar ett kokedjekomoplex:

 \Omega^0(M)\ \stackrel{d_0}{\to}\ \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \cdots.

Homologin av detta komplex är de Rhamkohomologi:

H^0_{\mathrm{DR}}(M, F) = \ker d_0 = {lokalt konstanta funktioner över M med värden i F}
H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_k / \mathrm{im} \, d_{k-1}.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chain complex, 9 november 2013.