Kolonnrum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Kolonnerna i en matris.

Ett kolonnrum är i linjär algebra alla linjärkombinationer av (även kallat spannet av) kolonnvektorerna i en matris. Om A är en m × n-matris är A:s kolonnrum ett underrum till ett m-dimensionellt vektorrum. Dimensionen av kolonnrummet kallas för matrisens rang.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en matris med kolonnvektorerna  \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n . Kolonnrummet är då alla vektorer  \mathbf{u} som kan skrivas som

\mathbf{u} = b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2 + ... + b_n\mathbf{v}_n .

Detta kan istället uttryckas som en matris-vektor-multiplikation:

A
\begin{pmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n 
\end{pmatrix}
=
b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2 + ... + b_n\mathbf{v}_n

med andra ord är kolonnrummet samma sak som värderummet till den linjära avbildning som matrisen representerar.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara


\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}

då leder varje matris-vektor-multiplikation till en vektor på formen:

 A\mathbf{x} = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_2 \\ 2x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}

där man kan urläsa att man kan låta andra koordinaten variera fritt, men första koordinaten måste vara lika med den tredje. Detta beskriver ett plan med ekvationen  x - z = 0 , som alltså är kolonnrummet.

Bas för kolonnrum[redigera | redigera wikitext]

Kolonnvektorerna i matrisen A spänner upp kolonnrummet, men bildar inte nödvändigtvis en bas då kolonnerna kan vara linjärt beroende. Man kan dock använda Gausselimination för att överföra matrisen till en trappstegsmatris, då man kan identifiera vilka kolonner som är beroende.