Kommutativ ring

En kommutativ ring är inom den matematiska grenen ringteori en ring där multiplikationen kommuterar. Studiet av kommutativa ringar kallas kommutativ algebra.

Kommutativa ringar är ringar som är mer lika kroppar än vanliga ringar, men det finns fortfarande många skillnader mellan kommutativa ringar och kroppar. En kropp har alltid en multiplikativ invers till alla sina element förutom nollan, något som inte behöver finnas i kommutativa ringar (ett element i en ring som har en multiplikativ invers kallas för en enhet). En kommutativ ring kan ha nolldelare, nollskilda element a och b vars produkt är noll. En kommutativ ring som saknar nolldelare kallas integritetsområde. Kommutativa ringar är dock lättare att ha att göra med än vanliga ringar, exempelvis är alla ideal dubbelsidiga.

Definition och exempel

En ring är en algebraisk struktur med två binära operatorer, en addition och en multiplikation, oftast betecknade "+" respektive "⋅". Definitonsmässigt kommuterar additionen i alla ringar, dvs a + b = b + a. I kommutativa ringar gäller dessutom att multiplikationen kommuterar, a ⋅ b = b ⋅ a.

Exempel

Ett enkelt exempel på en ring som är kommutativ är heltalen, $\Z$. En ring som inte är kommutativ är ringen av alla kvadratiska matriser av ett givet format, eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ.

Ideal och kvotringar

Ett ideal i en kommutativ ring R är en delmängd I sådan att, för alla a, b i I och alla r i R gäller:

$a + b \in I$

$ra = ar \in I$

Givet en delmängd $A = \{a_k\}_{k=1}^n$ av R är idealet som genereras av A det minsta ideal som innehåller hela A och kan ses som att bestå av alla linjärkombinationer på formen:

$r_1a_1 + r_2a_2 + ... +r_na_n\,$

där alla $r_i$ är godtyckliga element i R. Ett ideal som kan genereras av ett enda element kallas för ett principalt ideal. En ring där alla ideal är principala kallas principalidealring.

Givet ett ideal I i en kommutativ ring R kan man bilda kvotringen R/I bestående av sidoklasser med ringoperationerna definierade av:

$(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$

$(a+I)(b+I)=ab+I$

Referenser

Atiyah, Michael Francis; Ian G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Co.