Komplexa tal

Det komplexa talplanet. Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im).

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

$z\ = a + b\,i$

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten som definieras av

$\ i^2\ = {-1}$

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (till exempel 4i).

Mängden av komplexa tal betecknas med ℂ eller C.

Rektangulär form

Representationen av ett komplext tal på formen

$z\ = a + b\,i$

kallas rektangulär form.

För z är projektionsfunktionerna definierade som

$\mathrm{Re}(z) = a: \text{realdelen av } z$

$\mathrm{Im}(z) = b: \text{imaginärdelen av } z$

Polär form

Ett komplext tal framställt i polär form där r är talets absolutbelopp och φ är talets argument.

Enligt Eulers formel gäller

$\ e^{\varphi i} = \cos \varphi + i\ \sin \varphi$

vilket innebär att ett allmänt komplext tal kan skrivas som

$\ z = r\cdot e^{i\varphi}=r\ (\cos \varphi\ +i\sin \varphi)$

där r, absolutbeloppet, är avståndet till origo i det komplexa talplanet och φ är vinkeln mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.

Argument

Vinkeln φ kallas argumentet för z = a + bi.

$\varphi = \arg(z) = \begin{cases} \arctan\left(\frac b a\right) & \qquad a > 0 \\ \arctan\left(\frac b a\right) + \pi& \qquad b \ge 0 , a < 0 \\ \arctan\left(\frac b a\right) - \pi& \qquad b < 0 , a < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \qquad b > 0 , a = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad b < 0 , a = 0 \\ \text{odefinierad} & \qquad b = 0, a = 0 \end{cases}$

Intervallet för argumentet är (−π, π], vilket kallas principalargumentet, kan mappas till [0, 2π) genom att 2π adderas till negativa värden. Argumentet kan omfatta alla intervall som är en heltalsmultiplel av 2π.

För datorbaserade beräkningar kan det vara lämpligt att använda funktionen atan2(b, a) om denna är implementerad.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

$r= \sqrt{a^2 + b^2}$

eller

$r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}$

För absolutbeloppet gäller

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$

$\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}$

$|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|\$ (triangelolikheten)

$|z_1-z_2|\geq ||z_1|-|z_2||\$

$|z|=\sqrt{z \bar z}$

Konjugat

Konjugatet till ett komplext tal z = a + bi definieras som

$\bar{z} = a - b\ i$

För konjugatet gäller

$\ z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$

och

$\ |z| = |\bar{z}|$

Räkneregler

Komplex addition

Multiplikation med i motsvarar en rotation av 90 grader moturs. Division med i motsvarar en rotation av 90 grader medurs

Rektangulär form

Addition

$\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Subtraktion

$\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Multiplikation

$\begin{align} \,(a + bi)(c + di) &= ac + bci + adi + bdi^2 =\\ &= (ac - bd) + (bc + ad)i \\ \end{align}$

Division

${a+bi\over c+di} = {(a+bi)(c-di)\over (c+di)(c-di)} = {ac + bd \over c^2 + d^2}+\ i{bc - ad \over c^2+d^2}$

Polär form

Om vi antar att

$\ z_1 = r_1 e^{i \varphi_1};\quad z_2 = r_2 e^{i \varphi_2}$

så gäller enligt räknereglerna för exponentiella tal

• $\ z_1 z_2 = r_1 r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$
• $\ {z_1 \over z_2} = {r_1 \over r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$

Av detta följer

• $\ \arg {z_1 z_2} = \arg z_1 + \arg z_2$
• $\ \arg {z_1 \over z_2} = \arg z_1 - \arg z_2$

Exempel

Om

$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

är n-te roten av z

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]r \left(\cos \frac{\varphi}{n} + i \sin \frac{\varphi}{n}\right)$

Övrigt

För beräkningar utförda för hand är det lämpligt att använda den rektangulära formen för addition och subtraktion och den polära formen för multiplikation och division.

Formell definition

Mängden av komplexa tal ℂ definieras som mängden av ordnade talpar (a, b), där a och b tillhör den reella talmängden, tillsammans med operatorerna + och · för vilka gäller:

$\ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

$(a,b)\cdot (c, d) = (ac - bd, bc + ad)$

Definierade på detta sätt utgör ℂ en algebraisk struktur som benämns kropp i likhet med de reella talen. Det innebär att addition och multiplikation är definierade enligt samma regler (associativitet, kommutativitet, distributivitet, identitet och invers), men till skillnad från de reella talen saknar de komplexa talen naturlig ordning.

Delmängden av de komplexa talen av typen (a, 0) motsvarar de reella talen, och den imaginära enheten i är det komplexa talet (0, 1). Alla tal (0, b), det vill säga alla tal b⋅i, sägs vara rent imaginära.

Det komplexa talplanet, som innehåller mängden ℂ, kallas också för Arganddiagram.

Funktioner av komplexa tal

De analytiska funktioner som är definierade för de reella talen är också definierade för de komplexa talen. Några av dem är entydigt definierade, andra är flervärda funktioner.

Exponentialfunktionen

Enligt de kända serieutvecklingarna för reella x av

$\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ...$

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + ...$

$e^x = 1 + {x \over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + ...$

framgår att exponentialfunktionen e^z för komplexa z enligt

$\ e^{ix} = \cos x + i\sin x$

kan definieras genom serien

$e^z= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$

Serien är konvergent för alla z.

Logaritmfunktionen

Utifrån exponentialfunktionen kan den komplexa logaritmen definieras och är en flervärd funktion.

Den komplexa logaritmen definieras som

$\log\, z = \log|z|+i(\arg z + 2n\pi)$

och de flesta logaritmlagar som gäller för de reella talen gäller också för den komplexa logaritmen.

Med hjälp av logaritmfunktionen kan till exempel roten av komplexa tal bildas då

$\ z^{\frac{1}{2}} = e^\frac{\log z}{2}$

vilket lätt kan beräknas.

Observera att med denna definition, erhålls två lösningar även när z är ett reellt tal.

Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner av komplexa tal är entydigt definierade enligt

$\sin z = {{e^{i z} - e^{-i z}} \over {2 i}}$

$\cos z = {{e^{i z} + e^{-i z}} \over {2}}$

$\tan z = {{e^{i z} - e^{-i z}} \over i (e^{i z} + e^{-i z})}$

Funktionernas inverser blir som för reella tal flervärda funktioner.

Matriser

2x2-matriser av formen

$Z = \begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix} = a \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = a \cdot E + b \cdot I;\quad a,b\in\R$

kan användas för att representera komplexa tal där E är en enhetsmatris och matrisen I motsvarar den imaginära enheten. Då gäller

$\mathrm{Re}(Z) = a$

$\mathrm{Im}(Z) = b$

$I^2 = -E;\quad\text{analogt med } i^2 = -1$

$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\det Z}$

Reella tal motsvaras av diagonalmatrisen

$\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}$

De linjära avbildningar som svarar mot dessa matriser spänner upp R².

Användningsområden

Komplexa tal är grundläggande för delar av matematiken. Enligt Algebrans fundamentalsats har en ekvation av typen p(x) = 0, där p är ett polynom av graden n, exakt n komplexa rötter. Detta medför att de komplexa talen utgör en algebraiskt sluten kropp. Om p endast har reella koefficienter, och x är en rot till p(x) = 0, så är även konjugatet till x en rot.

Komplexa tal inom fysiken

Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva vågrörelser eller svängningar inom elektromagnetismen. Detta på grund av att man med komplexa tal samtidigt hanterar både absolutbelopp och fasvinkel, vilket är till stor nytta för att beräkna belopp och fasförskjutningar för spänningar och strömmar.

Med jω-metoden (j-omega-metoden) behandlas växelströmsproblem i nära analogi med motsvarande likströmsproblem genom införande av komplexa impedanser.

Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i olika slag av transformer, som till exempel Fouriertransformen och Laplacetransformen, för att underlätta vid beräkningar av växelströmsförlopp.

Inom kvantmekaniken är de grundläggande vågfunktionerna komplexa.

I strömningsmekanik används komplexa funktioner för konforma avbildningar.

Historia

Under 1500-talet förekom kvadratrötter ur negativa tal i de lösningar till tredje- och fjärdegradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet imaginära för sådana tal myntades av René Descartes på 1600-talet och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats av Caspar Wessel 1799. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare av bland andra Carl Friedrich Gauss. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes under 1800-talet av William Rowan Hamilton.

Flera av Leonhard Eulers mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. Abels skapelse, de elliptiska funktionerna, förde än mer de komplexa talen i förgrunden inom matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorin framväxte ur Abels, Cauchys, Weierstrass och Riemanns arbeten.

Carl Friedrich Gauss och Karl Weierstrass arbeten har visat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar jämförliga med dem som vinns genom införande av de av två grundenheter bildade komplexa talen.

Denna artikel är helt eller delvis baserad på material från Nordisk familjebok, 1904–1926.

Likheter och skillnader med vektorer

Komplexa tal och tvådimensionella reella vektorer adderas enligt samma regler (är isomorfa under addition), absolutbeloppen är desamma, och båda kan skalas med ett reellt tal.

Vektorer har en inre produkt som är ett reellt tal. För komplexa tal är det enkelt att skapa en funktion motsvarande skalärprodukten, men en sådan är inte en bärande del av de komplexa talens struktur. En möjlig sådan funktion är

$s(a, b) ={{ a \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot b} \over 2}$.

Den viktigaste skillnaden är att multiplikation inte är definierad för vektorer i den meningen att en multiplikation av två vektorer resulterar i en tredje vektor.

Se även

• Kvaternion
• Reella tal
• Imaginärt tal
• Komplex analys
• Komplexkonjugat

Externa länkar

• http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

Källor

• Complex Analysis for Mathematics and Engineering av John H. Mathews & Russel W. Howell