Kongruensrelation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En kongruensrelation är inom matematik en ekvivalensrelation över en algebraisk strutkur (exempelvis en grupp eller ring), sådan att den är kompatibel med strukturen. Ekvivalensklasserna som uppstår från en kongruensrelation kallas kongruensklasser. Utifrån en kongruensklass på en algebraisk struktur kan man bilda en kvotstruktur (exempelvis en kvotgrupp eller kvotring).

Inledande exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett exempel på en kongruensrelation är relationen kongruens modulo n över heltalen, som är kompatibel med både addition och multiplikation, dvs om

 a_1 \equiv a_2 \pmod{n} \qquad \textrm{och} \qquad b_1 \equiv b_2 \pmod{n}

så gäller att

 a_1 + b_1 \equiv a_2 + b_2 \pmod{n} \quad \textrm{och} \quad a_1b_1 \equiv a_2b_2 \pmod{n}

Definition[redigera | redigera wikitext]

Definitionen av en kongruensrelation beror på vilken algebraisk struktur den är definierad över, men relationen måste uppfylla villkoren för att vara en ekvivalensrelation, dvs om ~ är en kongruensrelation på en mängd X måste följande gälla för alla x, y och z i X:

  • Reflixivitet: x ~ x.
  • Symmetri: x ~ y medför y ~ x.
  • Transitivitet: x ~ y och y ~ z medför x ~ z.

Grupper och monoider[redigera | redigera wikitext]

Om ~ är en kongruensrelation på en grupp eller monoid M med operatorn * måste det gälla att om a1 ~ a2 och b1 ~ b2 så gäller att a1 * b1 ~ a2 * b2. Om M är en grupp kan man utifrån detta visa att om a ~ b så följer att a-1 ~ b-1.

I en grupp bestäms en kongruens unikt av mängden av element som är kongruent med det neutrala elementet i gruppen och denna mängd bildar en normal delgrupp.

Ringar[redigera | redigera wikitext]

För en kongruensrelation ~ på en ring R med operationerna + och * gäller att om a1 ~ a2 ochb1 ~ b2 så är a1 * b1 ~ a2 * b2 och a1 + b1 ~ a2 + b2.

Liknande fallet med grupper bildar mängden bestående av element som är kongruent med enhetselementet för + ett ideal.

Vektorrum[redigera | redigera wikitext]

För ett vektorrum V över en kropp K uppfyller en kongruensrelation ~ villkoren att om v1 ~ v2ochu1 ~ u2 så följer v1 + u1 ~ v2 + u2 och rv1 ~ rv2 för alla r i K.

Mängden av element kongruenta med nollvektorn bildar ett underrum.

Relation med homomorfier[redigera | redigera wikitext]

Om f: AB är en homomorfi mellan två algebraiska strukturer så ges en kongruensrelation ~ av

a ~ b om och endast om f(a) = f(b).

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Råde, Lennart; Bertil Westergren. Mathematics Handbook BETA. Studentlitteratur. Sid. 19. ISBN 91-44-03109-2 
  • Sims, Charles (1994). Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43213-8 
  • Roman, Steven. Advanced Linear Algebra. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-72828-5 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.